Enunciado

166- Um determinado comprimento de um cabo, que tem uma massa de 1.2   k g / m , deve ter uma deflexão de 2.4   m quando estiver suspenso entre dois pontos A e B distando 10   m sobre a mesma linha horizontal. Para efeito de comparações, determine o comprimento L do cabo necessário e faça um gráfico de sua configuração para os dois casos: a ) considerando uma forma parabólica e b ) usando o modelo de catenária apropriado. A fim de distinguir mais claramente entre os dois casos, faça também o gráfico da diferença y c - y p em função de x , onde C e P se referem a catenária e a parábola, respectivamente.

Passo 1

O peso específico do cabo μ é dado por:

μ = 1.2 k g m × 9.81 = 11.77   N / m

O ponto de deflexão máxima x é de 5   m

E a deflexão máxima y de 2.4   m

Passo 2

Letra a ) Pela equação do arco- parabólico(5/14) conseguimos encontrar que o valor de T 0 é:

T 0 = μ x 2 2 y = 11.77 × 5 2 2 ×   2.4 = 61.31   N

Logo teremos uma equação parabólica de comportamento do cabo igual a:

y p = 11.77 x 2 2 × 61.31 = 0.096 x 2

Passo 3

Agora para o cálculo do comprimento do arco parabólico temos que fazer uso da equação ( 5 / 16 a ) que nos diz que:

S = L 1 + 8 3 h L 2 - 32 5 h L 4 + …

Onde h é a maior deflexão do cabo e L o comprimento total horizontal do cabo, e como h L = 2.4 10 é menor que 1 / 4 então essa equação converge para um número. Fazendo a conta:

S = 10 1 + 8 3 × 0.24 2 - 32 5 × 0.24 4 + 128 7 × 0.24 6 - … ≈ 11.36   m

Logo o tamanho de cabo necessário pela abordagem parabólica é de 11.36   m .

Passo 4

b) Abordagem do cabo catenária

Pela equação 5 / 19 temos o valor de T o igual a:

y = T 0 μ   cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substituindo os valores no ponto médio temos:

2.4 = T 0 11.77   cosh ⁡ 11.77 × 5 T 0 - 1

Numericamente descobrimos um valor de T 0 = 65.53   N .

Esse valor faz com que tenhamos uma equação y c igual a:

y c = 65.53 11.77 × cosh ⁡ 11.77 x 65.53 - 1 = 5.57   ( cosh ⁡ 0.1796 x - 1 )

Passo 5

O comprimento do cabo segundo a abordagem catenária pode ser dada por:

S = 2 × T 0 μ sinh ⁡ μ x T 0 = 2 × 65.53 11.77 sinh ⁡ 11.77 × 5 65.53 = 11.4   m

Esse é o comprimento total do cabo que tem estar disponível.

Passo 6

Gráficos de y c e y p .

Onde a curva azul é da catenária e a vermelha da parabólica.

Gráfico de y c - y p .

Resposta

  1. y p = 0.096   x 2 e L = 11.36   m
  2. y c = 5.57   ( cosh ⁡ 0.1796 x - 1 ) e L = 11.4   m

Gráficos do passo 6 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o Prob. 5/155, mas não use a aproximação de um cabo parabólico. Compare seus resultados com a resposta dada para o Prob. 5/155.
Um cabo pesando 40 newtons por metro de comprimento está suspenso do ponto A e passa pela pequena polia em B. Determine a massa m do cilindro preso ao cabo, que vai produzir uma deflexão de 10 m. Devi
Determine o comprimento necessário L da corrente entre A e B, e a força trativa correspondente em A, se a inclinação da corrente for horizontal quando ela entra na guia em A. O peso da corrente vale 1
Diversas bóias esféricas estão igualmente espaçadas e rigidamente presas a um cabo flexível de 20m de comprimento. As extremidades A e B estão ancoradas a 16m de distância no fundo de um lago de água
Muitos pequenos dispositivos de flutuação estão presos a um cabo e a diferença entre a flutuação e o peso resulta em uma força direcionada para cima de 30N por metro do comprimento do cabo. Determine