Enunciado

Um cabo pesando 40 newtons por metro de comprimento está suspenso do ponto A e passa pela pequena polia em B. Determine a massa m do cilindro preso ao cabo, que vai produzir uma deflexão de 10 m. Devido à pequena razão deflexão/vão, a aproximação de um cabo parabólico pode ser usada.

Passo 1

Primeiro vamos anotar as informações que a questão e a imagem nos oferecem, para facilitar a visualização:

y A = 25   m

y b = 10   m

x A = l

x B = 120 - l

w = 40   N / m

O esquemático da questão segue abaixo:

Agora, vamos lembrar que a força trativa mínima no cabo é dada pela equação abaixo:

T 0 = w x 2 2 y

Como também lembre que a força trativa nos cabos é:

T 2 = T 0 2 + w 2 x 2

Note que, que a força trativa é igual tanto em A quando em B. Logo teremos 2 equações para acharmos l .

Passo 2

Pronto! Anotados as informações e feita as considerações vamos para o cálculo, dessa maneira:

Para A, teremos:

T 0 A = w x 2 2 y = 40 * ( l ) 2 2 * 25 = 4 5 l 2 N

Para B, teremos:

T 0 B = w x 2 2 y = 40 * ( 120 - l ) 2 2 * 10 = 2 120 - l 2 N

Como,

T 0 A = T 0 B

Temos:

2 1 2 0 - l 2 = 4 5 l 2

0,6 l 2 - 240 l + 14400 = 0

Resolvendo a equação vamos ter 2 soluções

l 1 = 73,5   m

l 2 = 326   m

Como x não pode ultrapassar 120, então:

l = 73,5   m

Substituindo em qualquer equação da força trativa mínima temos:

T 0 = 4 5 l 2 = 4320   N

Passo 3

Como já conhecemos a força trativa mínima agora é só substituir na equação que teremos a força trativa nos cabos. Logo,

T 2 = T 0 2 + w 2 x 2

Ou,

m g 2 = T 0 2 = w x 2

Logo em B teremos que,

m 2 9,81 2 = 4320 2 + 40 120 - 73,5 2

Implica que,

m = 480   k g

Resposta

m = 480   k g

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