Enunciado

18- Determine a coordenada x do centro de massa da barra de aço de seção variável e comprimento L , sendo que o diâmetro da extremidade mais larga é duas vezes o diâmetro da extremidade menor.

Passo 1

Vamos considerar que esse sólido é composto por pequenas fatias de altura d x que vai da base com diâmetro D até o de diâmetro 2 D .

Fazendo o volume desse disco nós teremos:

d V = π d 2 4 d x

Precisaremos então de uma equação que correlacione d com x e para isso vamos fazer uso da seguinte ideia:

Se planificarmos o desenho, conseguiremos ver dois trapézios

Passo 2

O trapézio 1 delimitado pelo menor diâmetro até o diâmetro d que pode ser qualquer diâmetro entre os dois diâmetros que limitam nossa região e o trapézio 2 que é complementar . Dessa figura podemos afirmar que:

A 1 + A 2 = A t o t a l

Onde a área do trapézio 1 somado com a do trapézio 2 é igual a do trapézio todo.

Logo:

D + d × x 2 + d + 2 D × ( L - x ) 2 = D + 2 D × L 2

Cortando o denominador e fazendo as operações dos denominadores:

D x + d x + d L + 2 D L - x d - 2 D x = 3 D L

- D x + d L = D L

d L = D ( L + x )

Isolando d :

d = D L ( L + x )

Logo nosso elemento de volume vai ficar:

d V = π 4 D 2 L 2   L + x 2 d x  

Como x varia de 0 até L :

V = π 4   D 2 L 2   ∫ 0 L L 2 + 2 x L + x 2 d x

Aplicando o intervalo:

V = π 4   D 2 L 2 L 2 x + x 2 L + x 3 3 0 L = π D 2 4 L 2 L 3 + L 3 + L 3 3

Nosso volume então será :

V = 7 π D 2 L 12

Passo 3

Agora para calcular a coordenada horizontal do centro de volume nós temos que fazer:

x - = ∫ x m d V V

Como nosso disco é perpendicular ao eixo pretendido, podemos tratar.

x m = x

Logo:

∫ x m d V = π 4 D 2 L 2 ∫ 0 L x ( L 2 + 2 x L + x 2 d x

∫ x m d V = π 4 D 2 L 2 ∫ 0 L L 2 x + 2 x 2 L + x 3 d x

π 4 D 2 L 2 L 2 x 2 2 + 2 x 3 L 3 + x 4 4 0 L = π 4 D 2 L 2 L 4 2 + 2 L 4 3 + L 4 4 = 17 48   π D 2 L 2

x - então valerá:

x - = 17 48 π D 2 L 2 7 π D 2 L 12 = 17 28 L

Resposta

x - = 17 28 L

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Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - da área.