Enunciado

Um motor, preso ao eixo O faz o braço O A girar na faixa 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° ao braço. O comprimento original da mola é de 0,65 m e ela pode suportar tato tração quanto compressão. Se o momento resultante em torno de O deve ser nulo, determine o torque necessário ao motor e faça um gráfico em função de θ .

Passo 1

Nesse exercício devemos obter a expressão vetorial da força causada pela mola no ponto A , para então calcularmos o momento em torno de O que essa força gera. Primeiro vamos obter o módulo F da força da mola em função de sua deformação e depois obter o momento causado sabendo a posição do ponto A e a direção de F .

Passo 2

Primeiro vamos definir a posição do ponto A . Temos a seguinte expressão:

r A = 0,5 cos ⁡ θ i + 0,5 sen ⁡ ( θ ) j

A partir disso, temos o vetor que liga a mola ao ponto A :

r B A = r A - r B = 0,5 cos ⁡ θ i + 0,5 sen ⁡ θ j - ( - 0,3 j )

⇒ r B A = 0,5 cos ⁡ θ i + ( 0,3 + 0,5 sen ⁡ θ ) j

Passo 3

Pra acharmos o módulo da força elástica, que vem da fórmula F = k Δ x onde Δ x é a deformação da mola, precisamos do comprimento total da mola, que é o módulo do vetor r B A .

r B A = r B A = 0,5 cos ⁡ θ 2 + 0,3 + 0,5 sen ⁡ θ 2

= 0,25 cos 2 ⁡ θ + 0,09 + 0,3 sen ⁡ θ + 0,25 sen 2 ⁡ θ = 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ

Então a força elástica será:

F = k Δ x = 600 0,65 - 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ = 390 - 600 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ   N

Aqui F pode ser negativo, o que significa que a mola está esticada (força apontada para B ) e não comprimida (força apontada de B para A ).

Passo 4

Agora que já temos F , precisamos das projeções nas direções O x e O y para podermos calcular o momento. A força de tração tem a mesma direção que o vetor r B A , que é dada pelo vetor unitário n A B calculado a seguir:

n B A = r B A r B A = 0,5 cos ⁡ θ i + 0,3 + 0,5 sen ⁡ θ j 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ

Agora temos a expressão de F :

F = F n B A = 390 - 600 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ 0,5 cos ⁡ θ i + 0,3 + 0,5 sen ⁡ θ j

Passo 5

Podemos então finalmente calcular o torque:

r A × F = 390 - 600 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ 0,5 cos ⁡ θ i + 0,5 sen ⁡ θ j × 0,5 cos ⁡ θ i + 0,3 + 0,5 sen ⁡ θ j

Resolvendo o produto vetorial, chegamos ao resultado:

r A × F = 58,5 - 90 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ k

E então para compensar o torque do motor deve ser:

M = 90 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ - 58,9 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ   N ⋅ m   ( a n t i - h o r á r i o )

Abaixo vemos o gráfico de M em função de θ :

Resposta

M = 90 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ - 58,9 0,34 + 0,3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ k   N ⋅ m

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