Enunciado

18.35. Os eixos de coordenadas mostrados na figura representam os eixos centroidais principais de inércia de uma sonda espacial de 1.500 kg cujos raios de giração são kx 0,4 m, ky 0,45 m e kz 0,375 m. A sonda não tem velocidade angular quando um meteorito de 150 g atinge um de seus painéis solares em A com uma velocidade v0 (720 m/s)i (900 m/s)j (960 m/s)k em relação à sonda. Sabendo que o meteorito emerge do outro lado do painel sem mudança na direção de sua velocidade, mas com uma redução de 20% na sua intensidade, determine a velocidade angular final da sonda.

Passo 1

Então temos a seguinte situação: uma sonda que estava parada de boa no espaço é atingida por um meteorito. O meteorito atinge a sonda com a velocidade:

v → 0 = 720   i ^ - 900   j ^ + 960   k ^ m s

No ponto A:

r → A = 2,5   i ^ + 0,2   k ^ m s  

Passo 2

Agora podemos começar a calcular! Temos um problema de momento aqui, então o melhor que fazemos agora é calcular os momentos iniciais. O momento linear inicial do meteorito é:

L → i = m v → 0 = 0,150 ⋅ 720   i ^ - 900   j ^ + 960   k ^

Então

L → i = 108   i ^ - 135   j ^ + 144   k ^   k g   m s 2

E o momento angular em relação a origem é|

H → A i = r → A × m v → 0

Isso fica

H → A i = i ^ j ^ k ^ 2,5 0 0,2 108 - 135 144

Então

H → M i = 0 + 27 i ^ + 21,6 - 360 j ^ + - 337,5 k ^

Ou seja

H → M i = 27   i ^ - 338,4   j ^ - 337,5   k ^   k g m 2 s

E agora vamos calcular os momentos finais. Isso aqui não vai ser difícil porque sabemos que nada mudou, exceto a velocidade, esta diminui em 20 % , ou seja, a velocidade final é 80 % da velocidade inicial:

v = 0,8 v 0

Então temos

L → f = m 0,8 v 0 = 0,8 ⋅ 108   i ^ - 135   j ^ + 144   k ^  

Isso fica

L → f = 86,4   i ^ - 108   j ^ + 115,2   k ^   k g   m s 2

E o momento angular final

H → M f = r → A × 0,8 m v → 0 = 0,8 27   i ^ - 338,4   j ^ - 337,5   k ^  

Então

H → M f = 21,6   i ^ - 270,72   j ^ - 270   k ^   k g m 2 s

Passo 3

Vamos focar na sonda agora, podemos considerar que inicialmente seu momento angular é:

H → A i = I x ω x   i ^ + I y ω y   j ^ + I z ω z   k ^

Ou então

H → A i = ω x ⋅ M k x 2   i ^ + ω y ⋅ M k y 2 j ^ + ω z ⋅ M k z 2   k ^

Substituindo os valores:

H → A i = 1500 ω x ⋅ 0,4 2   i ^ + ω y ⋅ 0,45 2   j ^ + ω z ⋅ 0,375 2   k ^

Isso fica

H → A = ω x 240   i ^ + ω y 303,75   j ^ + ω z 210,9375   k ^   k g m 2 s

Mas para o sistema sonda-meteorito podemos considerar que

H → M i = H → A i + H M f

Ou

H → A i = H → M i - H → M f

Agora só substituir os valores

ω x 240   i ^ + ω y 303,75   j ^ + ω z 210,9375   k ^ = 27   i ^ - 338,4   j ^ - 337,5   k ^ - 21,6   i ^ - 270,72   j ^ - 270   k ^  

Isso fica

ω x 240   i ^ + ω y 303,75   j ^ + ω z 210,9375   k ^ = 5 , 4   i ^ - 67,68   j ^ - 67,5   k ^

Agora resolvendo para cada componente temos:

ω x = 5,4 240 = 0,0225 r a d s

ω y = - 67,68 303,75 = - 0,2228 r a d s

ω z = - 67,5 210,9375 = - 0,32 r a d s

Então a resposta pro nosso problema é

ω → = 0,0225   i ^ - 0,2228   j ^ - 0,32   k ^ r a d s

Resposta

ω → = 0,0225   i ^ - 0,2228   j ^ - 0,32   k ^ r a d s

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