Enunciado

18.36. Os eixos de coordenadas mostrados na figura representam os eixos centroidais principais de inércia de uma sonda espacial de 1.500 kg cujos raios de giração são kx 0,4 m, ky 0,45 m e kz 0,375 m. A sonda não tem velocidade angular quando um meteorito de 150 g atinge um de seus painéis solares em A e emerge do outro lado do painel sem mudança na direção de sua velocidade, mas com uma redução de 25% na sua intensidade. Sabendo que a velocidade angular final da sonda é (0,05 rad /s)i (0,12 rad /s)j 2k e que o componente x da variação resultante da velocidade do centro de massa da sonda é 16 mm/s, determine (a) o componente 2 da velocidade angular final da sonda, (b) a velocidade relativa v0 com que o meteorito atinge o painel.

Passo 1

Então temos a seguinte situação: uma sonda que estava parada de boa no espaço é atingida por um meteorito no ponto A:

r → A = 2,5   i ^ + 0,2   k ^ m s  

Passo 2

Agora podemos começar a calcular! Temos um problema de momento aqui, então o melhor que fazemos agora é calcular os momentos iniciais. O momento linear inicial do meteorito é:

L → i = m v → 0 = 0,150 ⋅ v x   i ^ - v y   j ^ + v z k ^

Então

L → i = 0,15   v x   i ^ - 0,15   v y   j ^ + 0,15   v z   k ^   k g   m s 2

E o momento angular em relação a origem é

H → A i = r → A × m v → 0

Isso fica

H → A i = i ^ j ^ k ^ 2,5 0 0,2 0,15   v x - 0,15   v y 0,15   v z

Então

H → M i = 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^

E agora vamos calcular os momentos finais. Isso aqui não vai ser difícil porque sabemos que nada mudou, exceto a velocidade, esta diminui em 2 5 % , ou seja, a velocidade final é 75 % da velocidade inicial:

v = 0 , 75 v 0

Então temos

L → f = m 0 , 75 v 0 = 0 , 75 ⋅ 0,15   v x   i ^ - 0,15   v y   j ^ + 0,15   v z   k ^    

Isso fica

L → f = 0,1125 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^   k g   m s 2

E o momento angular final

H → M f = r → A × 0 , 75 m v → 0 = 0 , 75 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^  

Então

H → M f = 0,0225 v x   i ^ - 0,0225 v x - 0,28125 v z   j ^ - 0,0225   k ^  

Passo 3

Vamos focar na sonda agora, podemos considerar que inicialmente seus momentos angular e linear são nulos, depois:

L → = M v x '   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

A gente sabe que a velocidade em x varia em - 16 m m s , então

L → = 1500 - 0,016   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

Agora nós podemos usar conservação de momento linear do sistema sonda-meteorito:

0,15 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^ = 0,1125 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^ + 1500 - 0,016   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

Isso fica

0,0375 v x   i ^ - v y   j ^ + v z   k ^ = 1500 - 0,016   i ^ + v y '   j ^ + v z '   k ^

Resolvendo para cada componente temos

i ^ :           0,0375   v x = - 24

Então

v x = - 640 m s

j ^ :           - 0,0375 v y = 1500 v y '

k ^ :                       0,0375 v z = 1500 v z '

Passo 4

E o momento angular final da sonda pode ser calculado assim

H → A = M k x 2 ω x   i ^ + k y 2 ω y   j ^ + k z 2 ω z   k ^

Substituindo os valores

H → A = 1500 0,4 2 ⋅ 0,05   i ^ + 0,45 2 ⋅ - 0,12   j ^ + 0,375 2 ω z   k ^

Então

H → A = 12   i ^ - 34,45   j ^ + 210,9375 ω z  

Agora podemos usar conservação de momento angular do sistema

0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^ = 0,75 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^ + 12   i ^ - 34,45   j ^ + 210,9375 ω z

Então

0,25 0,03   v y i ^ + 0,03   v x - 0,375   v z j ^ + - 0,375   v y k ^ = 12   i ^ - 34,45   j ^ + 210,9375 ω z

Agora vamos resolver para cada componente

i ^ :       0,0075 v y = 12

j ^ :     0,03   v x - 0,375   v z = - 34,45

k ^ :     - 0,375   v y = 210,9375   ω z

Da equação em i ^ temos:

v y = 12 0,0075 = 1600 m s

Agora podemos finalmente responder o item (a), porque podemos resolver a equação em k ^ .

- 0,375 1600 = 210 ,   9375 ω z

Então

ω z = - 0,375 1600 210,9375 = 2,844 r a d s

Essa á resposta do primeiro item.

Bom, nós já calculamos v x , e v y , então, se usarmos a equação em j ^ , podemos calcular v z e responder o item (b).

0,03 - 640 - 0,375 v z = - 34,35

Logo

v z = 34,35 + 192 0,375 = 142,8 m s

Então

v → 0 = - 640   i ^ + 1600   j ^ + 142,8   k ^ m s

Resposta

v → 0 = - 640   i ^ + 1600   j ^ + 142,8   k ^ m s  

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