Enunciado

22. Consideramos que os elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural BD for uma haste de aço A - 36 de raio 50   m m , determine a carga máxima P que pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem no elemento estrutural.

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Queremos saber o maior valor de P para não haver flambagem em B D .

Bem! Como as extremidades das treliças estão acopladas por pinos, já sabemos que o seu fator de comprimento efetivo K é igual a 1 .

Vamos começar achando as rainhas da resistência dos materiais: as reações de apoio.

Podemos ver que as reações em A   e G , respectivamente R A e R G , vão ser iguais em módulo a P , mas em sentido oposto, apontando para cima. Por que? Por causa da simetria do carregamento.

R A = P

R G = P

E temos uns dados do aço-36 que são tabelados, então é melhor listar aqui

E = 200   G P a

τ e = 250 M P a

Vamos seguir!

Passo 2

Podemos começar achando a carga crítica. Já que a gente quer um carga limite para não haver flambagem, né?

Vamos então, usar a expressão da carga crítica para a flambagem.

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Só que a nossa haste é um elemento circular de raio r = 50   m m , que tem o momento de inércia vai ser dado por:

I = π r 4 4

E ficamos com a fórmula modificada desse jeito:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2 ⋅ π r 4 4

P c r = π 3 E r 4 4 ( K L ) 2

O comprimento da haste é L = 4 m .

Falta apenas substituir os valores numéricos pertencentes a cada variável, de modo que chegamos até:

P c r = π 3 200 ⋅ 10 9   P a ( 0,050   m ) 4 4 ( 1 ⋅ 4,0   m ) 2

P c r ≅ 605591,33   N ≅ 605,6   k N

Passo 3

Vamos ver se essa carga não faria nossa estrutura sair do regime linear elástico:

Já que sabemos o valor da carga crítica P c r , apliquemos então a outra velha e conhecida fórmula de tensão, dada pela divisão da força P c r pela área A em que ela atua:

σ c r = P c r A

σ c r = P c r π r 2

σ c r = 605591,33   N π ( 0,050   m ) 2

σ c r ≅ 77,1   M P a

Esse valor é menor do que a tensão admissível para o nosso aço A - 36 , que é igual a 250   M P a . Logo, está tudo certo com o resultado! E aquela vai ser mesmo nossa carga critica.

Passo 4

Voltando para a treliça, vamos achar F B D , a força aixial no elemento B D em função de P .

Como estamos trabalhando com o elemento estrutural B D , onde queremos a força atuante nesse trecho, o que acha de usarmos o método das seções para tentar descobrir nosso objetivo!? Vamos considerar a seção A B C , como ponto de análise:

Aí como se a gente tivesse cortado nossa treliça numa seção que corta ao mesmo tempo a barra A C , depois a C B e depois a B D .

Agora, o que temos que fazer é o somatório das forças e momentos no nosso elemento A B C , para ver se conseguimos tirar as relações que queremos:

Fazendo primeiro, o somatório dos momentos no ponto A :

⤻ + ∑ M A = 0

- 4 F B C + 3 F B D = 0

3 F B D = 4 F B C

F B D ≅ 1,333 F B C

E depois, fazendo o somatório das forças em y , chegamos à:

↑ + ∑ F y = 0

P - F B C = 0

F B C = P

Substituindo isso na expressão que a gente achou pelo momento:

F B D ≅ 1,333 F B C

F B D ≅ 1,333 P

Prontinho! Temos F B D em função de P .

Passo 5

Mas ainda não acabou! Obtemos no P a s s o   4 , que F B D ≅ 1,333 P   e coincidentemente já sabemos o valor de F B D que nada mais é do que a carga crítica P c r . Por que? Porque a gente quer o valor limite para F B D que não faça o elemento sofrer flambagem. Ou seja,

F B D = P c r

Assim, obtemos nossa resposta como o resultado da expressão abaixo:

F B D ≅ 1,333 P ≅ P c r

1,333 P ≅ 605591,33   N

P ≅ 605591,33   N 1,333

P ≅ 454193,475   N ≅ 454,19   k N

Resposta

C a r g a   m á x i m a → P ≅ 454,19   k N

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