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A haste de alumínio está engastada na base e livre no topo. Se for aplicada a carga excêntrica P = 200 kN, determine o maior comprimento admissível L da haste de modo que ela não sofra flambagem ou escoamento. E = 72 G P a ; σ y = 410 M P a .

Passo 1

Falaaa! Vamos reunir nossos dados:

P = 200   k N

E = 72   G P a

σ y = 410   M P a

d = 0,2   m

e = 0,005   m

Vamos precisar do momento de inércia da seção também.

I x = I y = π 4 r 4 = π 4 0,1 4

E como ela está engastada numa extremidade e livre na outra, k = 2 .

Temos uma carga excêntrica em relação ao eixo y - y . Mas ela é simples em relação a x - x . Em cada situação usamos uma fórmula diferente, por isso, precisamos separar esse exercício em dois casos.

Mas em ambos os casos, o que a gente quer é encontrar L que não permita nem a flambagem nem o escoamento da coluna, belezinha?

Passo 2

Primeiramente, vamos tratar da flambagem no eixo   x - x . A fórmula do peso crítico sem excentricidade para esse eixo é:

P c r = π 2 E I x k L 2

Como queremos o maior L para essa situação, nossa carga crítica vai ser o P do enunciado. Substituindo os dados e isolando L , teremos:

L = 8,35 m

A tensão causada por essa carga P é:

σ c r = P c r A = P π d 2 4 = 6,37 M P a

Como ela é menor que σ y = 410 M P a , essa carga não causa escoamento. E nosso comprimento achado é válido.

Passo 3

No eixo y - y , temos a excentricidade e . Por isso devemos calcular alguns parâmetros para usar na fórmulinha:

r y = I y A = 50 m m

c = d 2 = 100 m m

Esse c é a maior distância do eixo y até a borda da seção.

e x = 5 m m

A fórmulinha que a gente tem para esse caso com e ≠ 0 , é a fórmula da tensão

σ = P A 1 + e x c r y 2 sec ⁡ k L 2 r y P E A

Como a gente quer o L que não causa escoamento, vamos usar a tensão de escoamento nessa fórmulinha para achar L .

σ y = P A 1 + e x c r y 2 sec ⁡ k L 2 r y P E A

Substituindo nossos dados e isolando-se o L , teremos:

410 10 6 = 200 10 3 π 0,2 2 4 1 + 5 10 - 3 × 100 10 - 3 50 2 10 - 6 sec ⁡ 2 L 2 × 50 10 - 3 200 10 3 72 10 9 × π 0,2 2 4

Resolvendo isso, chegaremos em:

sec ⁡ 0,188063 L = 317,0132

L = 1 0,188063 arcsec ⁡ 317,0132 = 8,34 m

Devemos escolher o menor valor de L que achamos, então ficamos com:

L = 8,34 m

Resposta

L = 8,34 m

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