Enunciado

23. Resolva o Problema 9.22 para os pontos C e D.

Passo 1

Primeiro, vamos calcular as forças de reações no pino e no ponto E .

Fazendo a soma de momentos em relação a pino e considerando o sentida anti-horário como sendo positivo:

↶ + sum M_p = 0

- 40 k N * 0,3 m + R_E * 0,5 m = 0

R_E = (40 k N * 0,3 m)/(0,5 m)

R_E = 24 k N

E agora, fazemos a soma de forças no eixo x , chamando a reação no pino de R_p e considerando o sentido da direita como positivo:

-> + sum F_x = 0

R_p - 40 k N + 24 k N = 0

R_p = 16 k N

Passo 2

Agora, faremos a análise dos esforços cortantes e momentos fletores a partir do pino e com o corte no ponto C (ou D ):

-> + sum F_x = 0

24 k N - 40 k N - V = 0

V = 40 k N - 24 k N

V = 16 k N

↶ + sum M = 0

M - (24 k N xx 0,3 m) + (40 k N xx 0,1 m) = 0

M = (24 N xx 0,3 m) - (40 k N xx 0,1 m)

M = 3,2 k N * m

Passo 3

Neste passo, iremos calcular o momento de inércia da seção transversal. Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de inércia:

I = (1)/(12) ( b h^3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo:

I = (( 0,03 m ) ( 0,05 m )^3)/(12)

I tilde= 3,125 xx 10^(- 7) m^4

Passo 4

Como nossos cálculos são comuns aos dois pontos, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro que foi pedido para o ponto C e depois para o ponto D .

Cálculo da tensão no ponto C :

sigma_C = (M y_C)/(I)

sigma_C tilde= ((3,2 xx 10^3 N * m) (0,025 m))/(3,125 xx 10^(- 7) m^4)

sigma_C tilde= 256 M P a ( t r a ç ã o )

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto C :

tau_C = (V Q_C)/(I t)

tau_C tilde= (( 16 xx 10^3 N ) ( 0 m^3 ))/(( 3,125 xx 10^(- 7) m^4 ) ( 0,03 m ))

tau_C tilde= 0 M P a

Passo 5

Calcularemos, então, as tensões principais no ponto C :

sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/(2) +- sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

sigma_1,2 = (( 0 M P a ) + ( 256 M P a ))/(2) +- sqrt((((0 M P a) - ( 256 M P a ))/(2))^2 + ( 0 M P a )^2)

sigma_1,2 tilde= 128 M P a +- 128 M P a

Logo, obtemos duas tensões sigma_1 e sigma_2 :

sigma_1 = sigma_y tilde= 256 M P a

sigma_2 = sigma_x = 0 M P a

Passo 6

Fazendo as contas para o ponto D , temos:

Cálculo da tensão no ponto D:

sigma_D = (M y_D)/(I)

sigma_D tilde= - ((3,2 xx 10^3 N * m) ( 0,015 m ))/(3,125 xx 10^(- 7) m^4)

sigma_B tilde= - 153,6 M P a ( C o m p r e s s ã o )

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto D :

tau_D = (V Q_D)/(I t)

tau_B = (( 16 xx 10^3 N ) ( 0,02 m xx 0,01 m xx 0,03 m ))/(( 3,125 xx 10^(- 7) m^4 ) ( 0,03 m ))

tau_B tilde= 10,24 M P a

Passo 7

E agora, vamos pro cálculo das tensões principais no ponto D :

sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/(2) +- sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

sigma_1,2 = (( 0 M P a ) + ( - 156,3 M P a ))/(2) +- sqrt((((0 M P a) - ( - 153,6 M P a ))/(2))^2 + ( 10,24 M P a )^2)

sigma_1,2 = - 76,8 M P a +- 77,48 M P a

Novamente obtemos duas tensões, sigma_1 e sigma_2 :

sigma_1 tilde= 0,680 M P a

sigma_2 tilde= - 154 M P a

Passo 8

Calcularemos, agora, o ângulo que o elemento será rotacionado, com os resultados lá do P a s s o 6 :

t g (2 theta_p) = (tau_x y)/((sigma_x - sigma_y)/(2))

t g (2 theta_p) = (( 10,24 M P a ))/(((0 M P a) - ( - 153,6 M P a ))/(2))

t g (2 theta_p) = 0,1333

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg^(- 1) 2 theta_P = 0,1333

theta_p 1 = theta_P = 3,8 °

Esse ângulo é quanto um dos eixos está deslocado. Para achar o outro, devemos somar noventa graus com o nosso ângulo theta_p 1 :

theta_p 2 = 3,8 ° + 90 ° = 93,8 °

Resposta

As tensões principais no ponto C são:

sigma_1 = sigma_y = 256 M P a

sigma_2 = sigma_x = 0 M P a

E as tensões no ponto D são:

sigma_1 = 0,68 M P a

sigma_2 = - 154 M P a

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