Enunciado

234. O sistema do problema 6.23 é representado aqui. O carrinho B se desloca para a direita com aceleração a = 2 g . Se m = 0,5   k g , l = 0,6   m e k = 75   N ⋅ m / r a d , determine o deslocamento angular em regime permanente θ da haste esbelta uniforme de massa 3 m . Considere a pequena esfera de massa m na extremidade como uma partícula. A mola, que exerce um momento de módulo M = k θ sobre a haste, está sem deformação quando a haste está vertical.

Passo 1

Bom! Hora da malandragem, né galera! Da questão 6.23 , tiramos que o valor de k é dado pela seguinte relação:

K = 5 mglcos ⁡ θ + 5 2 m g l sen ⁡ θ θ

θ = 5 mglcos ⁡ θ + 5 2 m g l sen ⁡ θ K

E como já temos o valor da constante K , da massa m , do ângulo θ e do comprimento l , agora é só correr pro abraço e substituir os valores numéricos:

θ = 5 ( 0,5 kg ) ( 9,81 m / s 2 ) ( 0,6  m ) ⋅ cos ⁡ θ + 5 2 ( 0,5 kg ) ( 9,81 m / s 2 ) ( 0,6  m ) ⋅ sen ⁡ θ 75   N ⋅ m / r a d

75 θ = 7,36 se n ⁡ θ + 14,72 cos ⁡ θ

75 θ - 7,36 sen ⁡ θ - 14,72 cos ⁡ θ = 0

θ = 7,36 sen ⁡ θ + 14,72 cos ⁡ θ 75

Passo 2

Danou-se! Essa é um tipo de equação que só da pra resolver usando ferramentas lá do cálculo numérico:

Mas podemos fazer algumas gambiarras pra ver se conseguimos arrumar alguma coisa, se é que isso é possível. Bora substituir alguns valores numéricos, e tentar aplicar na nossa equação, o método da bissecção. Consideremos o ângulo em radianos:

Primeiramente, vamos testar os valores θ = 0 ° e θ = 20 ° = π 9 r a d .

Para θ = 0 ° :

f θ = 75 θ - 7,36 sen ⁡ θ - 14,72 cos ⁡ θ

f 0 = 75 ⋅ 0 - 7,36 sen ⁡ 0 - 14,72 cos ⁡ 0

f 0 = - 14,72

Para θ = 20 ° = π 9 r a d :

f θ = 75 θ - 7,36 sen ⁡ θ - 14,72 cos ⁡ θ

f π 9 = 75 ⋅ π 9 - 7,36 sen ⁡ π 9 - 14,72 cos ⁡ π 9    

f π 9 = 9,83

Como os sinais dos dois valores do nosso intervalo, são opostos, sendo que ( f 0 < 0 ) e ( f π 9 > 0 ) , temos que há uma raiz nesse intervalo. E seguinte o raciocínio do método da bissecção, vamos dividi-lo ainda mais. Para isso, basta somar os dois valores anteriores e dividimos por dois:

θ = π 9 + 0 2   r a d

Depois, façamos o teste para θ = π 18 r a d :

f θ = 75 θ - 7,36 sen ⁡ θ - 14,72 cos ⁡ θ

f π 18 = 75 ⋅ π 18 - 7,36 sen ⁡ π 18 - 14,72 cos ⁡ π 18    

f π 18 = - 2,83

f 0 < 0 f π 9 > 0 f π 18 < 0

E o nosso novo intervalo, vai ser π 9 , π 18 . Vamos novamente dividi-lo por dois para encontrar outro valor de θ :

θ = π 9 + π 18 2 r a d = π 12 r a d

Fazemos, novamente o teste para θ = π 18 r a d :

f θ = 75 θ - 7,36 sen ⁡ θ - 14,72 cos ⁡ θ

f π 12 = 75 ⋅ π 12 - 7,36 sen ⁡ π 12 - 14,72 cos ⁡ π 12    

f π 12 = 3,51

Como ( f π 12 > 0 ) e ( f π 18 < 0 ) , a raiz vai estar agora nesse intervalo. A desvantagem dessse processo, e que ele exige um número muito grande de repetições até atingir uma determinada faixa de erro. Por isso, deve ser feito em um computador. A nossa próxima iteração vai ser a que iremos usar para calcular a raiz, até porque ninguém é de ferro, né:

E a raiz da nossa equação, que é o valor do ângulo θ que queremos, é dado pela divisão do último intervalo que obtemos:

θ = π 12 + π 18 2 = 5 π 72   r a d = 12,5 °

Quer ver só como esse método, apesar das suas limitações, é muito eficaz:

f θ = 75 θ - 7,36 sen ⁡ θ - 14,72 cos ⁡ θ

f 5 π 72 = 75 ⋅ 5 π 72 - 7,36 sen ⁡ 5 π 72 - 14,72 cos ⁡ 5 π 72    

f 5 π 72 = 0,4

Esse valor é muito próximo de zero. É claro que se fizer esse processo do método da bissecção em mais duas ou três iterações, a raiz encontrada vai ser ainda mais próxima do valor real. O que acha de agora, usarmos outra ferramenta para tentar nos aproximar ainda mais da nossa raiz:

Sabe o Método de Newton! Ele é dado pela seguinte relação:

θ r a i z = θ t e s t e - f θ t e s t e f ' ( θ t e s t e )  

O ponto do teste ( θ t e s t e ) nós já temos, que é aquele último valor que obtivemos pelo método da bissecção, de 12,5 °   ou 5 π 72   r a d .

Falta agora, apenas calcular a primeira derivada de f θ , que é dada por:

f ' θ = 75 - 7,36 cos ⁡ θ + 14,72 sen ⁡ θ

E vamos fazer apenas nossa primeira e única iteração, pelo Método de Newton. Não esqueça que estamos trabalhando com radianos:

θ r a i z = 5 π 72 - 0,4 71 r a d

θ r a i z = 12,17 °

Viu só! Quem precisa de computador, rapaz! Conseguimos a raiz quase que exata, do que estávamos procurando.

Resposta

θ ≅ 12,17 °

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