Enunciado

Uma lata de suco congelado está apoiada sobre a prateleira horizontal de uma porta de congelador conforme mostrado. Com que velocidade angular máxima Ω a porta pode ser ‘batida’ contra sua vedação e não desalojar a lata? Suponha que a lata rola sem deslizar sobre a extremidade da prateleira, e despreze a dimensão d comparada com a distância de 500 mm.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Distância d : d = 0,5   m ;

Raio da lata: r = 0,035   m ;

Altura do suporte: h = 0,007   m .

Devemos determinar a velocidade angular máxima Ω da porta em que a lata não seja desalojada, ou seja, não caia da porta ultrapassando o seu apoio mostrado na figura.

Passo 2

Primeiramente, vamos supor a situação extrema em que a lata fique posicionada em cima do suporte, porém não cai, conforme a ilustração abaixo:

Neste momento, temos que a energia potêncial do instante inicial para o instante final é

U 1 - 2 = ∆ T

Onde

U 1 - 2 = - m g h = m ( 9,81 ) ( 0,007 )

∆ T = 1 2 3 2 m r 2 ω ' 2 - 0 = 3 4 m 0,035 2 ω ' 2

Substituindo na equação principal, obtemos

m 9,81 0,007 = 3 4 m 0,035 2 ω ' 2

ω ' 2 = 4 3 9,81 0,007 0,035 2

ω ' = 8,65   r a d / s  

Passo 3

Agora, em uma segunda hipótese, vamos supor que a lata seja somente empurrada contra o suporte, conforme a ilustração abaixo:

Neste caso, temos que a variação da quantidade de movimento no ponto A é nula, logo

∆ H A = 0

Portanto,

m v r - 0,007 = I A ω ' = 3 2 m r 2 ω '

Sabemos que v = ω R , logo, neste problema, temos que

v = Ω 0,5

Substituindos os dados na equação principal, temos que

m Ω 0,5 r - 0,007 = 3 2 m r 2 ω '

Ω 0,5 = 3 2 r 2 ω ' r - 0,007 = 3 2 0,035 2 8,65 0,035 - 0,007

Ω = 1,135   r a d / s

Resposta

Ω = 1,135   r a d / s

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