Enunciado

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3/46) Duas esferas de ferro , cada uma das quais com 100   m m de diâmetro , são liberadas a partir do repouso com uma separação de centro de 1   m   . Suponha um lugar no espaço sem nenhuma força , além da força de atração gravitacional mútua , e calcule o tempo t necessário para as esferas se tocarem e a velocidade absoluta v de cada esfera no contato .

Passo 1

Então pessoal , seja x a distância entre as duas esferas . A força gravitacional é dada por :

F = G m 1 m 2 x 2

Como m 1 = m 2 = m :

F = G m 2 x 2

Além disso , temos que :

d e n s i d a d e = ρ = m v

Sendo assim ,

m = ρ v = 7210 4 3 π   0,05 3 = 3,775   k g

Passo 2

Bom galera, pelo princípio do somatório das forças concorrente , temos que :

∑ F x = m a x   :     - G m 2 2 x 2 = m v d v d x

Integrando ambos lados da equação :

- G m 4 ∫ x 0 = 0,5 x d x x 2 = ∫ v 0 = 0 v v d v

Isolando v e substituindo os valores que já conhecemos :

v = G m 1 2 x - 1 = 6,673 * 10 - 11 3,775 1 2 0,05 - 1

v = 4,76 * 10 - 5 m / s

Passo 3

Bom pessoal , para calcularmos o tempo t necessário para as esferas se tocarem devemos nos lembrar da relação :

v = d x d t = - G m 1 2 - x x

Passando d t para o lado direito da equação , obtemos que :

x 1 2 - x d x = - G m   d t

Agora devemos integrar ambosos os lados da equação para acharmos uma nova nora relação que esteja em função de t :

∫ x 0 = 0,5 x = 0,05 x   d x 1 2 - x = - G m ∫ 0 t d t

- x 1 2 - x + 1 2 sen - 1 ⁡ 2 x x = 0,5 x = 0,05 = - G m   t

Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado e resolvendo a equação acima , obtemos que :

t = 48800   s

Resposta

t = 48800   s

v = 4,76 * 10 - 5 m / s

Suave galera? Então bora resolver mais questões como essa!

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