Enunciado

35. Determine a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo de modo que a haste de controle B C de aço A - 36 não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 25   m m .

Passo 1

Primeiro, a gente vai analisar a barra separadamente, ou seja, o elemento A B a parte do elemeto B C :

Agora, faremos o somatório de forças e momentos para achar as relações entre as componentes das forças A e B e a força P :

→ + ∑ F x = 0 → A x - B x - P = 0

P = -   A x + B x   ( I )

↑ + ∑ F y = 0 → -   A y + B y = 0

  A y = +   B y   ( I I )

↶ + ∑ M A = 0 → - 250 s e n 45 °   m m × B x + 250 s e n 45 °   m m × B y + 350   m m × P = 0

350   m m × P = 2 2 250   m m × B x - 2 2 250   m m × B y

∴ 1,98 P = B x - B y   ( I I I )

Agora, vamos analisar o sistema como um todo, ou seja , junto com o elemento B C . Assim, faremos a somatória de momento em relação ao ponto C :

↶ + ∑ M C = 0

- 250 c o s 45 ° × A x + ( 800 + 250 c o s 45 ° ) × A y + ( 350 + 250 s e n 45 ° ) × P = 0

+ 350 + 250 2 2 m m × P = 2 2 250   m m × A x - 800 + 250 2 2 m m × A y

∴ 2,98 P = A x - 5,53   A y   ( I V )

Passo 2

Agora, vamos resolver as equações I ,   I I ,   I I I e   ( I V ) .

Para simplificar, podemos ver que não há forças atuando no sentido y , portanto:

A y = B y = 0

Na equação I I I , temos:

1,98 P = B x - 0

B x = 1,98 P

E da equação ( I V ) :

2,98 P = A x - 5,53 × 0

A x = 2,98 P

Passo 3

Agora, devemos pegar a força atuante na haste para achar a força crítica P c r :

P c r = B x = 1,98 P

Podemos achar a força crítica pela fórmula:

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

Como o exercício disse que é um aço A - 36 , nós temos a seguinte característica tabelada:

Módulo de elasticidade do material = E = 200 × 10 6   P a

Temos que calcular também o momento de inércia I , que, para seções circulares, temos a fórmula:

I = π 4 r 4

∴ I = π 4 ( 0,125   m ) 4

A medida de L será o comprimento da haste que é de 0,8   m .

Por fim, k = 1 .

P c r = π 2 ( 200 × 10 6   P a ) ( π 4 ( 0,125   m ) 4 ) ( 1 × 0,8   m ) 2 = 1,98 P

P = π 2 ( 200 × 10 6   P a ) ( π 4 ( 0,125   m ) 4 ) ( 1 × 0,8   m ) 2 ( 1,98 )

∴ P = 29,9   k N

Passo 4

Finalmente, a gente só tem que achar a tensão crítica σ c r pela fórmula de tensão da força crítica F c r :

σ c r = P c r A

Lembrando que P c r = 1,98 P :

σ c r = 1,98 × 29,9   k N π × ( 0,125   m ) 2

σ c r = 120,48   M P a

Passo 5

Sabemos que a tensão de escoamento σ e do aço A - 36 é de 350   M P a . Como σ c r é menor que a tensão de escoamento, a haste não sofre flambagem.

Resposta

A força P que pode ser aplicada no sistema para que a haste B C não sofra flambagem é de:

P = 29,9   k N

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