Enunciado

4.117 - Sabendo-se que a tensão na seção a - a é 75 M P a , determinar a maior força que pode ser exercida sobre o garfo mostrado.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer aqui é determinar os esforços internos na seção a - a devido a aplicação da força no gráfico do garfo.

Na seção, vamos ter a ação direta da força P centrada, de valor igual a P mesmo (é a força que queremos saber dadas as condições do problema):

P = P

E além dele, temos o momento fletor causados pela aplicação da força P fora do eixo de simetria:

M = P ⋅ d

Onde d é a distância de aplicação da força, até o eixo geométrico vertical da seção a - a , ou seja, é a soma 200   m m mais 40   m m :

d = 240   m m = 0,24 m

M = 0,24 P

Descobertos esses valores, simbora para o passo 2!

Passo 2

Nesse passo, temos que buscar as informações que dependem da geometria do problema, como os valores da área da seção transversal e momento de inércia:

A área da seção vai ser a área desses três retângulos somados (lembre-se de que m m é 10 - 3 m):

A = 48 ⋅ 10 - 3 ⋅ 16 ⋅ 10 - 3 + 48 ⋅ 10 - 3 ⋅ 16 ⋅ 10 - 3 + 48 ⋅ 10 - 3 ⋅ 32 ⋅ 10 - 3

Onde 16 ⋅ 10 - 3 é o valor em metros ( 16 m m ) da largura desses retângulos em pé na figura!

A = 1536 ⋅ 10 - 6 + 1536 ⋅ 10 - 6   →

A = 3072 ⋅ 10 - 6

Essa área está em m 2 , ok?

MOMENTO DE INÉRCIA:

Para o momento de inércia com relação ao eixo de simetria, devemos calcular o momento de inércia de cada retângulo em relação a origem:

  • Retângulo 1 (o primeiro em pé):
  • I c m 1 = 1 12 h b 3

    Onde h representa a altura do retângulo h = 48 m m = 0,048 m e b a base ou largura, nesse caso, b = 16 ⋅ 10 - 3 = 0,016 m .

    I m c 1 = 1 12 ⋅ 0,048 ⋅ 0,016 3 = 1,6384 ⋅ 10 - 8

    Só que o centro desse retângulo em vermelho, está deslocado de d = 32   m m do centro da seção:

    Logo, o momento de inércia desse retângulo pode ser dado pelo teorema dos eixos paralelos:

    I 1 = I c m 1 + h b d 2   →

    I 1 = 1,6384 ⋅ 10 - 8 + 0,048 ⋅ 0,016 32 ⋅ 10 - 3 2   →

    I 1 = 8,02812 ⋅ 10 - 7

  • O do retângulo 2 (o deitado) vai ser somente...
  • I 2 = 1 12 h b 3 →

    I 2 = 1 12 ⋅ 0,032 0,048 3   →

    2,94912 ⋅ 10 - 7

  • O outro retângulo em pé (retângulo 3), por simetria, é idêntico ao do retângulo 1:

I 3 = 8,028 12 ⋅ 10 - 7

Portanto o momento de Inércia de toda a seção será...

I = I 1 + I 2 + I 3   →

I = 2 ⋅ 8,028 12 ⋅ 10 - 7 + 2,94912 ⋅ 10 - 7   →

I = 1,9 ⋅ 10 - 6   m 4

Passo 3

Agora podemos buscar as tensões de compressão pela força P que gera uma distribuição uniforme de trações:

σ 0 = P A = P 3072 ⋅ 10 - 6   →

σ 0 = 325,52 P

Sabemos que o momento M , causa uma distribuição linear de tensões. Na compressão...

σ 1 = M C B I

Onde C B vale a distância de um dos lados da seção até o centro neutro...

Portanto...

C B = 40   m m = 0,04   m

Então...

σ 1 = 0,24 P ⋅ 0,04 1,9 ⋅ 10 - 6

σ 1 = 5052,63   P

Passo 4

Agora vamos avaliar os casos possíveis já que sabemos que a maior tensão admissível é:

75 M P a

Então...

σ 0 = 325,52 P     →

75 M P a = 325,52 P     →

P = 0,23   M N       o u       P = 230   k N

Ou...

σ 1 = 5052,63   P →

75 M   P a = 5052,63   P   →

P = 0,014   M   N         o u         P = 14   k N

Então a menor força suportada é de 14   k N !

Resposta

P = 14   k N

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O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A .
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O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (a) o ângulo que o eixo neutro forma com o plano horizontal.
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