Enunciado

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48- Determine a altura máxima h da massa m para a qual o pêndulo invertido será estável na posição vertical mostrada. Cada uma das molas tem rigidez k e elas estão igualmente pré-comprimidas nessa posição. Despreze a massa do restante do mecanismo.

Passo 1

Vamos inclinar a massa em θ da seguinte maneira:

A energia potencial gravitacional será:

V g = m g h c o s   θ

Já que a massa é o único peso do sistema.

Quanto a energia potencial elástica, inicialmente vamos considerar as duas molas comprimidas de δ e enquanto uma massa está comprimida pela barra a outra está esticada de mesmo módulo igual a Δ x que valerá:

Δ x = b s i n   θ

Logo a energia elástica será dada por:

V e = 1 2 K δ + b s i n   θ 2 + 1 2 K δ - b s i n   θ 2

V e = 1 2 K ( 2 δ 2 + 2 b 2 sin 2 ⁡ θ )  

Logo a energia total do sistema será:

V = 1 2 K ( 2 δ 2 + 2 b 2 sin 2 ⁡ θ )   + m g h c o s   θ

Passo 2

Fazendo a primeira derivada pela regra da cadeia em relação a θ nós teremos:

d V d θ = 2 K b 2 s i n θ cos ⁡ θ - m g h s i n   θ

Dessa equação conseguimos ver que θ = 0 é um ponto de equilíbrio.

Agora a segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = 2 K b 2 cos 2 ⁡ θ - 2 K b 2 sin 2 ⁡ θ - m g h c o s   θ

Passo 3

A posição vertical para o nosso sistema representa a angulação de θ = 0 e para que o sistema seja estável devemos aplicar:

d 2 V d θ 2 > 0

Para que o sinal seja positivo.

E com θ = 0 . Logo:

2 K b 2 cos 2 ⁡ 0 - 2 K b 2 sin 2 ⁡ 0 - m g h c o s   0 > 0

2 K b 2 - 0 - m g h > 0

2 K b 2 > m g h

Isolando h para responder a questão temos:

2 K b 2 m g > h

Resposta

h < 2 K b 2 m g

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