Enunciado

49. A força F age perpendicularmente ao plano inclinado. Determine o momento produzido por F em relação ao ponto B. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

E esse vetor tem como coordenadas r → = { - 3 i + 4 j + 0 k }

Mas para usarmos esse método temos que expressar a força como um vetor cartesiano, e como fazemos isso?

É simples, basta multiplicar o módulo da nossa força pelo vetor direção da mesma. Esse vetor direção nada mais é que um vetor unitário que aponta na mesma direção da força. Ele pode ser calculado da seguinte maneira:

û = u → u →

Onde   u → para o nosso caso pode ser qualquer vetor normal ao plano, já que qualquer vetor dessa forma terá a mesma direção do vetor da força. Mas para obter esse vetor perpendicular ao plano podemos fazer o produto vetorial entre A C ¯ e C B ¯ , faremos isso porque se lembrarmos, o produto vetorial entre dois vetores fornece um verto que é perpendicular ao pano dos vetores.

Passo 2

Vamos então fazer o produto vetorial entre A C ¯ e C B ¯ para obtermos o vetor perpendicular que queremos.

C A ¯ = 0 i - 4 j + 3 k

C B ¯ = { 3 i - 4 j + 0 k }

C A ¯   ×   C B ¯ = i j k 0 - 4 3 3 - 4 0

= - 4 ⋅ 0 - ( - 4 ⋅ 3 ) i - 0 ⋅ 0 - 3 ⋅ 3 j + - 4 ⋅ 0 - ( - 4 ⋅ 3 ) k

= 0 + 12 i - 0 - 9 j + 0 + 12 k

= 12 i + 9 j + 12 k

Esse vetor então é perpendicular ao plano da figura.

Agora calculando o vetor direção do da força, da maneira que foi mencionado acima.

û = u → u → = 12 i + 9 j + 12 k 12 2 + 9 2 + 12 2

= 12 i + 9 j + 12 k 144 + 81 + 144

= 12 i + 9 j + 12 k 369

= 12 i + 9 j + 12 k 19.2

= { 0,6 i + 0,5 j + 0,6 k }

Passo 3

Agora vamos achar nossa força expressa na forma de vetor cartesiano.

F → = F û

= 400 ⋅ { 0,6 i + 0,5 j + 0,6 k }

⇒ F → = { 240 i + 200 j + 240 k }

Passo 4

Agora já temos tudo para calcular o momento da força F em relação ao ponto B.

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

= i j k - 3 4 0 240 200 240

= 4 ⋅ 240 - 0 ⋅ 200 i - - 3 ⋅ 240 - 0 ⋅ 240 j + - 3 ⋅ 200 - 4 ⋅ 240 k

= 960 - 0 i - - 720 - 0 j + ( - 600 - 960 ) k

= 960 i + 720 j - 1560 k

Resposta

O momento produzido pela força em B é:

M 0 = { 960 i + 720 j - 1560 k }

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