Enunciado

139. Resolva o Problema 4.138 , sujeito à restrição de que H deve estar sobre o eixo y .

Passo 1

Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Vamos escolher o eixo de rotação para o cálculo do momento o eixo A F , pois as forças de reação em A e F não irão contribuir para o cálculo do momento.

O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação A F , então:

u A F → = r A F → r A F →

Onde r A F → é o vetor que sai do ponto A até o ponto F . Assim:

r A F → = { 1,2 i - 0,6 j - 1,2 k }

r A F → = 1,2 2 + - 0,6 2 + - 1,2 2

= 3,24

= 1,8

Logo:

u A F → = { 1,2 i - 0,6 j - 1,2 k } 1,8

= { 0,667 i - 0,333 j - 0,667 k }

Assim nossa equação de equilíbrio referente ao momento fica da seguinte forma:

∑ M A F → = 0

u A F → ⋅ r A G 1 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ r A G 2 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ ( r A B → × T → ) = 0

Onde G 1 representa o ponto de aplicação da força peso na esquerda e G 2 representa a da direita.

Passo 2

Agora analisando a equação de equilíbrio referente ao momento:

u A F → ⋅ r A G 1 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ r A G 2 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ ( r A B → × T → ) = 0

⇒ 0,667 - 0,333 - 0,667 0,6 - 0,3 0 0 - 48 0 + 0,667 - 0,333 - 0,667 1,2 - 0,3 - 0,6 0 - 48 0 + u A F → ⋅ r A B → × T → = 0

Abrindo essa conta, temos:

⇒ 0,667 0 + 0,333 0 - 0,667 - 28,8 +

+ 0,667 - 28,8 + 0,333 0 - 0,667 - 57,6 + u A F → ⋅ r A B → × T → = 0

Então temos que:

19,20 - 19,20 + 38,41 + u A F → ⋅ r A B → × T → = 0

Com esse resultado ficamos com duas opções:

u A F → ⋅ r A B → × T → = - 38,41

Passo 3

Agora temos que escrever T como vetor, e para isso vamos multiplicá-lo pelo vetor unitário que tem a mesma direção B H , então temos o seguinte:

B H → = { - 1,2 i + y j - 1,2 k }

Assim o vetor unitário é dado por:

u B H → = - 1,2 i + y j - 1,2 k 2,88 + y 2

Logo:

T → = T - 1,2 i + y j - 1,2 k 2,88 + y 2

Passo 4

Utilizando o que encontramos no passo anterior, temos o seguinte:

u A F → ⋅ r A B → × T → = - 38,41

0,667 - 0,333 - 0,667 1,2 0 0 - T 1,2 2,88 + y 2 T y 2,88 + y 2 - T 1,2 2,88 + y 2 = - 38,41

⇒ 0,667 0 + 0,333 - T 1 , 44 2,88 + y 2 - 0,667 T 1,2 y 2,88 + y 2 = - 38,41

⇒ - 0,479 - 0,8 y T = - 38,41 2,88 + y 2

⇒ T = 38,41 2,88 + y 2 0,479 + 0,8 y

Encontramos então uma função T que depende de y , isso é muito bom pois encontrando o y que minimiza a função podemos achar o T mínimo.

Faremos isso igualando a derivada dessa função a 0 .

Passo 5

Calculando a derivada da função e igualando a zero.

d T d y = 38,41 0,479 + 0,8 y 1 2 2,88 + y 2 - 1 2 2 y - 0,8 2,88 + y 2 1 2 0,479 + 0,8 y 2 = 0

Para isso ser verdade, temos que:

0,479 + 0,8 y 1 2 2,88 + y 2 - 1 2 2 y - 0,8 2,88 + y 2 1 2 = 0

⇒ 0,479 + 0,8 y 1 2 2,88 + y 2 - 1 2 2 y = 0,8 2,88 + y 2 1 2

⇒ 0,479 + 0,8 y y = 0,8 2,88 + y 2

Então ficamos com:

0,479 y = 2,304

⇒ y = 4,81

Com isso achamos o y que minimiza T , já que temos isso, então:

T = 38,41 2,88 + y 2 0,479 + 0,8 y

⇒ T = 38,41 2,88 + 4,81 2 0,479 + 0,8 ( 4,81 )

= 45,27   N

Resposta

y = 4,81

T = 45,27   N

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