Enunciado

51. Um pequeno barco é suportado por dois guindastes, um dos quais é mostrado na figura. Sabendo que o momento sobre o eixo z da resultante R A   exercida no guindaste em A não deve exceder 378   N ⋅ m em valores absolutos. Determine a maior tensão admissível na linha A B A D quando x = 1,8   m .

Passo 1

Primeiramente, vamos tratar de fazer a análise de forças do nosso sistema, que está representado na figura abaixo:

Bom! Dessa ilustraçãozinha acima tiramos que a reação em A , chamada de R → A , é dada pela seguinte soma vetorial:

R → A = 2 T → A B + T → A D

Em seguida, a segunda coisa que temos que fazer é determinar a distância A D → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ ; afinal é nesse segmento que está a linha de ação de T → A D . Para isso, basta observar a figura. Veremos que o ponto A está nas coordenadas ( 0 ; 2,4 ; 0,9 ) e o ponto D encontra-se nas coordenadas ( 1,8 ; 0 ; 0 ) . Com isso, para achar A D → basta fazer a diferença entre as coordenadas de D e as coordenadas de A :

  A D → = 1,8 - 0 i ^ + 0 - 2,4 j ^ + ( 0 - 0,9 ) k ^

A D → = 1,8 i ^ - 2,4 j ^ - 0,9 k ^   m

E o módulo A D é dado por:

A D = ( 1,8 ) 2 + ( - 2,4 ) 2 + ( - 0,9 ) 2     m

A D = 9,81   m

Passo 2

Achada o nosso vetor A D →   vamos obter o quanto vale a força de tração T → A D também em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Para fazer isso basta multiplicar a força pela distância A D → vetorial e dividir tudo pelo módulo de A D :

T → A D = T A D ⋅ A D → A D

T → A D = T A D ⋅ 1,8 i ^ - 2,4 j ^ - 0,9 k ^ 9,81  

Passo 3

A questão já nos fornece o momento em relação ao eixo z da força resultante R → A . Ora bolas; tudo que temos que fazer agora é relacionar esse momento já dado com a expressão geral do momento que queremos encontrar, especificamente para o eixo z .

Para fazer isso, dado que temos T → A D , só falta agora o vetor posição r → A / C   que parte da origem C   até o ponto   A , onde se localiza R → A . Essa belezinha é o vetor C A → !! Sabendo que A tem as coordenadas ( 0 ; 2,4 ; 0,9 ) :

C A → = ( 0   m ) i ^ + 2,4   m j ^ + ( 0,9   m )   k ^

Como temos tudo que precisamos; só nos resta aplicar a definição de momento:

M → = r → A / C × T → A D

Onde temos que:

r → A / C = C A → = ( 0   m ) i ^ + 2,4   m j ^ + ( 0,9   m ) k ^

T → A D = T A D ⋅ 1,8 i ^ - 2,4 j ^ - 0,9 k ^ 9,81  

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M → = r → A / C × T → A D

M → = det ⁡ i ^ j ^ k ^ x A y A z A T A D , x T A D , y T A D , z

M → = T AD AD ⋅ det ⁡ i ^ j ^ k ^ 0 2,4 0,9 1,8 - 2,4 - 0,9

M → = T AD AD ⋅ ⁡ i ^ j ^ k ^ 0 2,4 0,9 1,8 - 2,4 - 0,9       i ^ j ^ 0 2,4 1,8 - 2,4      

M → = T A D A D ⋅ 1,62 j ^ - 4,32 k ^   N ⋅ m

M → = 1,62 T A D A D j ^ - 4,32 T A D A D k ^   N ⋅ m

M → = 1,62 T A D 9,81 j ^ - 4,32 T A D 9,81 k ^   N ⋅ m

Esse é o nosso momento resultante!!! Para obter os momentos em cada eixo; basta associar cada componente do momento com seu versor ao respectivo eixo coordenado; ( i ^ ) para o eixo x ; ( j ^ ) para o eixo y e ( k ^ ) para o eixo z :

M x = 0

M y = 1,62 T A D 9,81   N ⋅ m

M z = - 4,32 T A D 9,81   N ⋅ m

E como sabemos que o momento sobre o eixo z da resultante R A   exercida no guindaste em A não deve exceder 378   N ⋅ m em valores absolutos, basta igualar M z a 378   N ⋅ m :

M z = - 4,32 T A D 9,81   N ⋅ m

378   N ⋅ m = - 4,32 T A D 9,81   N ⋅ m

T A D = - 378 ⋅ 9,81 4,32   N

T A D = - 274,05   N

Resposta

T A D = - 274,05   N

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