Enunciado

5.47. Determine the x- and y-coordinates of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Para encontrar as coordenadas do centroide podemos usar as equações

X - = ∑ m x - ∑ m

Y - = ∑ m y - ∑ m

Mas esse problema aqui vai simplificar as coisas para a gente, porque a densidade é homogênea. Então ficamos com

X - = ∑ A x - ∑ A

Y - = ∑ A y - ∑ A

Passo 2

O raciocínio principal da questão é dividir a figura toda em duas figuras mais simples, desse jeito:

Agora a gente só tem que resolver para as figuras separadamente, vamos começar com o quadrado.

x - Q = 240 2 = 120   m m

y - Q = 120 2 = 60   m m

E a área do quadrado é

A Q = 120 ⋅ 80 + 160 = 28800   m m 2

Então temos o primeiro ponto do que vamos considerar

Q - = 120 ,   60

Passo 3

Agora vamos fazer para o triângulo T . Para ficar mais simples, vamos mudar um pouco as coordenadas, vamos colocar o nosso centro na ponta do triângulo:

Agora vai ficar mais fácil calcular o centroide nesse sistema.

x T ' = 1 - 1 3 160 = 320 3

y T ' = 1 3 80 = 80 3

Agora vamos passar para os eixos de coordenadas originais, para fazer isso basta somar as coordenadas da nova origem O ' .

x - t = 320 3 + 80

E

y - t = 80 3 + 120

Agora temos o centroide do triângulo

Só falta calcular a área desse triângulo:

A T = 160 ⋅ 80 2 = 6400   m m 2

Passo 4

Agora podemos finalmente usar a equação

X - = ∑ A x - ∑ A

E essa equação vira

X - = A Q   x - Q + A T   x - T A Q + A T

Vamos substituir os valores na equação

X - = 28800 ⋅ 120 + 6400 ⋅ 80 + 320 3 28800 + 6400 = 132,12   m m

E agora vamos fazer para o eixo y

Y - = ∑ A y - ∑ A

Y - = A Q   y - Q + A T   y - T A Q + A T

Substituindo os valores

Y - = 28800 ⋅ 60 + 6400 ⋅ 120 + 8 0 3 28800 + 6400 = 75,76   m m

Então o ponto do centroide é

132,12 ; 75,76   m m

Resposta

x - = 132,1   m m y - = 75,8   m m

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