A placa de aço tem 0,3   m de espessura e densidade de 7850   k g / m 3 . Determine a localização de seu centro de massa. Além disso, determine as reações no pino e no apoio de rolete.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema temos uma placa de aço que tem 0,3 m de espessura e 7850   k g / m 3 de densidade.

A partir daí temos que encontrar o centro de massa do objeto e as reações de apoio no pino e no rolete.

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que lembrar das fórmulas do centro de massa:

x - = ∫ A x d A ∫ A d A ,     y - = ∫ A y d A ∫ A d A

E para encontrar as reações de apoio temos que aplicar as fórmulas de equilíbrio:

∑ M = 0 ,     ∑ F x = 0 ,     ∑ F y = 0

Bora começar!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar o centro de massa do objeto.

Pra isso podemos separar a peça em duas partes: a parte de cima e a parte de baixo.

Assim:

y 1 = - x 1 ,     y 2 2 = 2 x 2

Com isso, d A pode ser escrito como:

d A = y 2 - y 1 d x = 2 x + x d x

E y como:

y = y 2 + y 1 2 = 2 x - x 2

Dessa forma, calculando as integrais, temos:

∫ A x d A = ∫ 0 2 x 2 x + x d x = 2 2 5 x 5 2 + 1 3 x 3 0 2 = 5,867

∫ A y d A = ∫ 0 2 2 x - x 2 2 x + x d x = 1 2 x 2 - 1 6 x 3 0 2 = 0,667

∫ A d A = ∫ 0 2 2 x + x d x = 2 2 3 x 3 2 + 1 2 x 2 0 2 = 4,667

Com isso, podemos calcular o centro de massa do objeto como:

x - = ∫ A x d A ∫ A d A = 5,867 4,667 = 1,26   m

y - = ∫ A y d A ∫ A d A = 0,667 4,667 = 0,14   m

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora que temos o centro de massa do objeto, podemos encontrar a poça peso (que pode ser considerada aplicada no seu centro de massa) e assim calcular as reações de apoio.

Se a placa tem 0,3 m de espessura, 7850   k g / m 3 de densidade e no passo anterior vimos que sua área é de ∫ A d A = A = 4,667   m 2 , então:

W = 7850 · 9,81 · 4,667 · 0,3

W = 107,81   k N

Calculando o momento em A , temos:

∑ M A = 0 → - x - · W + N B · 2 2 = 0

- 1,26 · 107,81 + N B · 2 2 = 0

N B = 47,9   k N

Agora calculamos o somatório das forças em x :

∑ F x = 0 → - A x + N B · sin ⁡ 45 ° = 0

- A x + 47,9 · sin ⁡ 45 ° = 0

A x = 33,9   k N

E por fim, o somatório das forças em y :

∑ F y = 0 → A y + N B · cos ⁡ 45 ° - W = 0

A y + 47,9 · cos ⁡ 45 ° - 107,81 = 0

A y = 73,9   k N

E fim! O que acho? Responde Aí!

Resposta

x - = 1,26   m

y - = 0,14   m

N B = 47,9   k N

A x = 33,9   k N

A y = 73,9   k N

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