Se a densidade em qualquer ponto na placa de um quarto de círculo é definida por rho = rho_0 \* x \* y , em que rho_0 é uma constante, determine a massa e localize o centro de massa (x-, y-) da placa. A placa tem uma espessura t .

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada uma figura de densidade:

ρ = ρ 0 x y

E nosso objetivo é encontrar a massa e o centro de massa x - , y - dessa figura sendo que ela possui uma espessura t .

Parece complicado?

A massa de um objeto com densidade ρ é dada por:

m = ∫ V ρ d V

Já seu centro de massa é definido por:

x - = ∫ x d m ∫ d m ,     y - = ∫ y d m ∫ d m

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a massa do objeto:

m = ∫ V ρ d V

Podemos escrever d V como:

d V = t r d r d θ

Com r variando de 0 a r e θ de 0 a π 2 .

Ou seja:

m = ∫ 0 π 2 ∫ 0 r ρ t r d r d θ

Como ρ = ρ 0 x y e fizemos uma mudança para coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Ou seja:

m = ∫ 0 π 2 ∫ 0 r ρ 0 x y t r d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 r ρ 0 r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ t d r d θ

t e ρ 0 são constantes, logo, podemos tirá-las da integral.

m = t ρ 0 ∫ 0 π 2 ∫ 0 r r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d r d θ

Assim, como r e θ são independentes, podemos separá-las da seguinte maneira...

m = t ρ 0 ∫ 0 r r 3 d r ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Calculando as integrais...

m = t ρ 0 r 4 4 0 r sin 2 ⁡ θ 2 0 π 2

m = t ρ 0 r 4 4 1 2

m = 1 8 t ρ 0 r 4

Show?

Passo 3

Agora temos que calcular o centro de massa desse objeto.

Lembrando que a fórmula pra isso é:

x - = ∫ x d m ∫ d m ,     y - = ∫ y d m ∫ d m

Nesse caso, temos que:

d m = ρ d V = ρ r d r d θ

No passo anterior vimos que

∫ d m = m = 1 8 t ρ 0 r 4

Com isso, temos que a coordenada x - é:

x - = ∫ x d m ∫ d m = 1 m ∫ x d m

x - = 8 t ρ 0 r 4 ∫ x t ρ 0 x y d V

Simplificando t ρ 0 ...

x - = 8 r 4 ∫ x x y d V = 8 r 4 ∫ x 2 y d V

Fazendo uma mudança para coordenadas polares, temos:

x - = 8 r 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 r r cos ⁡ θ 2 r sin ⁡ θ r d r d θ

x - = 8 r 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 r r 4 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d r d θ

Separando e calculando as integrais...

x - = 8 r 4 ∫ 0 r r 4 d r ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

x - = 8 r 4 r 5 5 1 3

x - = 8 15 r

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Por fim, repetimos o último passo para a coordenada y .

y - = ∫ y d m ∫ d m = 1 m ∫ y d m

y - = 8 t ρ 0 r 4 ∫ y t ρ 0 x y d V

Simplificando t ρ 0 ...

y - = 8 r 4 ∫ y x y d V = 8 r 4 ∫ x y 2 d V

Fazendo uma mudança para coordenadas polares, temos:

y - = 8 r 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 r r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 2 r d r d θ

y - = 8 r 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 r r 4 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ

Separando e calculando as integrais...

y - = 8 r 4 ∫ 0 r r 4 d r ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

y - = 8 r 4 r 5 5 1 3

y - = 8 15 r

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

m = 1 8 t ρ 0 r 4

x - = 8 15 r

y - = 8 15 r

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