Se a densidade em qualquer ponto na placa de um quarto de círculo é definida por , em que é uma constante, determine a massa e localize o centro de massa da placa. A placa tem uma espessura .
Passo 1
E aí! como vai?
Nesse problema foi dada uma figura de densidade:
E nosso objetivo é encontrar a massa e o centro de massa dessa figura sendo que ela possui uma espessura .
Parece complicado?
A massa de um objeto com densidade é dada por:
Já seu centro de massa é definido por:
Bora começar!
Passo 2
Vamos começar calculando a massa do objeto:
Podemos escrever como:
Com variando de a e de a .
Ou seja:
Como e fizemos uma mudança para coordenadas polares, temos que:
Ou seja:
e são constantes, logo, podemos tirá-las da integral.
Assim, como e são independentes, podemos separá-las da seguinte maneira...
Calculando as integrais...
Show?
Passo 3
Agora temos que calcular o centro de massa desse objeto.
Lembrando que a fórmula pra isso é:
Nesse caso, temos que:
No passo anterior vimos que
Com isso, temos que a coordenada é:
Simplificando ...
Fazendo uma mudança para coordenadas polares, temos:
Separando e calculando as integrais...
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Por fim, repetimos o último passo para a coordenada .
Simplificando ...
Fazendo uma mudança para coordenadas polares, temos:
Separando e calculando as integrais...
E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!