Enunciado

5/55) A oscilação angular da haste ranhurada é realizada pela manivela O A , que gira no sentido horário na velocidade constante N = 120   r p m . Determine uma expressão para a velocidade angular β ' da haste ranhurada em termos de θ .

Passo 1

Vamos começar bem devagarinho, primeiro vamos entender que a velocidade angular β ' é definida dessa forma porque é a derivada do ângulo β no tempo!

Entendido isso a gente pode começar a olhar a figura e aplicar a geometria.

Na nossa figura, temos o nosso ângulo β , o ângulo θ e a velocidade da manivela N = 120 r p m .

Vamos a partir dessa figura encontrar alguma relação para esse ângulo β !

Passo 2

Galera , analisando a figura do problema , temos um triângulo :

Para encontrar uma relação para o ângulo β , uma boa opção é dividir esse triângulo em dois triângulos retângulos, que vão ficar com essa cara:

Agora que temos um triângulo retângulo com o ângulo β , podemos aplicar a tangente nele!

tan ⁡ β = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

tan ⁡ β = 125 sen ⁡ θ 450 - 125 cos ⁡ θ

Passo 3

A velocidade angular da haste , por sua vez , é dada por :

θ ' = 2 π N 60

Essa formulinha é muito útil quando a gente quer calcular velocidade angular a partir da rotação N , dada em rpm.

θ ' = 2 π N 60 = 2 ⋅ π ⋅ 120 60 = 12,57   r a d / s

Passo 4

Agora vamos derivar a relação que achamos no passo 1 para obtermos β '

d ( tan ⁡ β ) d t = d 125 sen ⁡ θ 450 - 125 cos ⁡ θ d t  

Lembrando da regra do quociente:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Sendo

125 sen ⁡ θ = u

e

450 - 125 cos ⁡ θ = v

E é importante lembrar também a seguinte derivada:

tan ⁡ β ' = sec 2 ( ⁡ β ) ⋅ β '

Assim:

sec 2 ⁡ β β ' = 450 - 125 cos ⁡ θ 125 θ ' cos ⁡ θ - 125 sen ⁡ θ 125 θ ' sen ⁡ θ 450 - 125 cos ⁡ θ 2

sec 2 ⁡ β β ' = 40625 cos ⁡ θ - 125 2 450 - 125 cos ⁡ θ 2 θ '

Sendo assim ,

β ' = 40625 cos ⁡ θ - 125 2 450 - 125 cos ⁡ θ 2 θ ' cos 2 ⁡ β

Passo 5

Bom pessoal , além disso , pelar relações trigonométricas básicas:

s e n 2 β + cos 2 ⁡ β = 1

tan 2 ⁡ β + 1 = sec 2 ⁡ β

E lembrando que:

tan ⁡ β = 125 sen ⁡ θ 450 - 125 cos ⁡ θ

A gente vai poder obter:

cos 2 ⁡ β = 450 - 125 cos ⁡ θ 2 450 2 + 125 2 - 2 450 125 cos ⁡ θ

Então ,

β ' = 40625 cos ⁡ θ - 125 2 450 - 125 cos ⁡ θ 2 θ ' × 450 - 125 cos ⁡ θ 2 450 2 + 125 2 - 2 450 125 cos ⁡ θ

Pronto, temos β ' em função apenas de θ .

obs: Gente, essa equação pode ser desenvolvida ainda mais, porém será apenas algebrismo e propriedade trigonométria.

Resposta

β ' = 40625 cos ⁡ θ - 125 2 450 - 125 cos ⁡ θ 2 θ ' × 450 - 125 cos ⁡ θ 2 450 2 + 125 2 - 2 450 125 cos ⁡ θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

39. Determine a velocidade e a aceleração da plataforma P como uma função do ângulo θ do came C se o came gira com uma velocidade angular constante ω . O pino de conexão não interfere no movimento de
46. No instante que θ=30°, a manivela AB gira com uma velocidade angular e aceleração angular de ω=10rads e α=2rads2, respectivamente. Determine a velocidade e aceleração do bloco deslizante C nesse i
38. O bloco se descola para a esquerda com uma velocidade constante v 0 . Determine a velocidade angular e aceleração angular da barra como uma função de θ .
53. No instante mostrado, o disco está girando com uma velocidade angular ω e tem uma aceleração angular α . Determine a velocidade e aceleração do cilindro B nesse instante. Despreze a dimensão da po
37. O andaime S é erguido deslocando o rolete A na direção do pino em B. Se A está se aproximando de B com uma velocidade de 1,5 m/s, determine a velocidade na qual a plataforma levanta como uma funçã