Enunciado

57- A figura mostra uma cadeira reclinável de escritório juntamente com um detalhe do projeto do mecanismo de inclinação suportado por uma mola. A estrutura do assento é articulada em relação ao ponto fixo O na base. O aumento da distância entre A e B , quando a cadeira se inclina para trás em relação a O , corresponde ao aumento na compressão da mola. A mola, que tem rigidez de 96   k N / m , está sem compressão quando θ = 0 . Para pequenos ângulos de inclinação, pode-se assumir, com erro desprezível, que o eixo da mola permanece paralelo ao assento. O centro de massa de uma pessoa de 80   k g que senta na cadeira está em G , sobre uma linha perpendicular ao assento passando por O . Determine o ângulo de inclinação θ para haver equilíbrio. (Sugestão: A deformação da mola pode ser visualizada permitindo que a base se incline do ângulo θ necessário em relação a O , enquanto o assento é mantido em posição fixa.)

Passo 1

A energia potencial gravitacional da cadeira pode ser calculado de cardo com a seguinte imagem.

Onde a altura entre G e O é calculado as seguinte forma:

cos ⁡ θ = G O 0.3 → G O = 0.3 cos ⁡ θ

Onde precisa-se passar as distâncias para metros e a massa para Newtons.

Logo a energia potencial gravitacional do sistema será:

V g = m g h = 80 × 9.81 × 0.3 cos ⁡ θ = 235.44 cos ⁡ θ

Passo 2

A sugestão nos diz que a mola ao se deformar inclina θ em relação a O de forma que podemos aproximar a figura da seguinte forma.

Fazendo o seno desse ângulo teremos:

sin ⁡ θ = x 0.5 → x = 0.5 sin ⁡ θ

Como a mola não está comprimida inicialmente então toda a compressão vale x de modo que a energia potencial do sistema vale.

V e = 1 2 k x 2

Já que a constante elástica k vale 96   k N / m então.

V e = 48 000 0 . 0 5 s i n θ 2 = 12 sin 2 ⁡ θ

Logo toda a energia do sistema vale:

V = V e + V g = 235.44 cos ⁡ θ + 12 0 sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Para encontrar a posição de equilíbrio desse sistema devemos fazer:

d V d θ = 0

Fazendo a derivada em relação ao tempo da equação da energia nós teremos:

d V d θ = - 235.44 sin ⁡ θ + 12 0 × 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

sin ⁡ θ ( 240 cos ⁡ θ - 235.44 ) = 0

Para essa expressão ser verdadeira ou sin ⁡ θ = 0 ou 240 cos ⁡ θ - 235.44 = 0

Para a primeira afirmação θ = 0 para a segunda:

240 cos ⁡ θ = 235.44 → θ = cos - 1 ⁡ 235.44 240 = 11.19 °

Como queremos que a cadeira incline logo temos como resposta:

θ = 11.19 °

Resposta

θ = 11.19 °

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