Enunciado

6.22 Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sobre tração ou compressão.

Passo 1

Falaa!

Vamos usar o método dos nós abordado no começo do capitulo. Como não temos nenhum nó com uma força conhecida e no máximo duas forças incógnitas, vamos ter que calcular as reações externas nos apoios:

Vamos calcular o momento em C, pois dessa forma vamos obter direto a força A:

M C = 0

600 ⋅ 1 + 400 ⋅ 3 - F A ⋅ 4 = 0

4 F A = 600 + 1200

F A = 1800 4

F A = 450   N

As forças em x e em y deveram ser iguais para manter o equilíbrio então:

∑ F y = 0

F A + F C - 400 - 600 = 0

450 + F C = 1000

F C = 550   N

Passo 2

Agora que temos um nó com apenas duas forças incógnitas e uma força conhecida conseguimos começar a descobrir as forças de cada membro. Analisando, então, o nó A:

Vamos montar as equções para y :

∑ F y = 0

F A E sen ⁡ 45 ° + 450 = 0

F A E 2 2 = - 450

F A E = - 450 2

F A E = - 636   , 4 N

O sinal negativo indica que adotamos a direção errada para essa força, então na verdade A força AE é uma força de compressão, está entrando na seção da barra

F A E = 636,4   N   C

Agora para o eixo x :

∑ F x = 0

F A B + F A E cos ⁡ 45 ° = 0

F A B + - 636,4 2 2 = 0

F A B = 450   N

O sinal ficou positivo, então a força foi adotada corretamente, podemos escrever:

F A B = 450   N   T

Pois como indica o diagrama, essa força está tracionando o membro AB, já que a força está saindo da seção da barra.

Passo 3

Podemos analisar o nó F, pois só sobraram duas forças desconhecidas:

Agora vamos montar as equações.

Para y :

- F A E cos ⁡ 45 ° - F B E cos ⁡ 45 ° - 400 = 0

F A E cos ⁡ 45 ° + F B E cos ⁡ 45 ° + 400 = 0

Nós já descobrimos o valor de F A E = - 636,4 :

- 636,4 2 2 + F B E 2 2 + 400 = 0

2 2 F B E - 636,4 = - 400

F B E - 636,4 = - 400 2

F B E = 636,4 - 400 2

F B E = 70,7   N

F B E = 70,7   N   T

Já que a sentinha sai da seção da barra.

Agora vamos olhar para o eixo x :

F D E + F B E sen ⁡ 45 ° - F A E sen ⁡ 45 º = 0

F D E + F B E - F A E sen ⁡ 45 ° = 0

Nós já sabemos quanto vale F B E e F A E :

F D E + 70,7 - - 636,4 2 2   = 0

F D E + 707,1 2 2 = 0

F D E = - 707,1 2 2

F D E = - 500   N

F D E = 500   N   C

A sentinha na real está entrando na seção da barra.

Passo 4

Vamos analisar o nó D:

Eixo x :

∑ F x = 0

- F D E - F B D sen ⁡ 45 ° + F C D sen ⁡ 45 ° = 0

- F D E + - F B D + F C D sen ⁡ 45 ° = 0

- F D E + F C D - F B D 2 2 = 0

F D E = F C D - F B D 2 2

2 F D E = F C D - F B D

Sabemos o valor de F D E :

2 - 500 = F C D - F B D

F B D - F C D = 500 2

Eixo y :

∑ F y = 0

- F B D cos ⁡ 45 ° - F C D cos ⁡ 45 ° - 600 = 0

F B D cos ⁡ 45 ° + F C D cos ⁡ 45 ° + 600 = 0

F B D cos ⁡ 45 ° + F C D cos ⁡ 45 ° = - 600

Tirando o cosseno em evidência

F B D + F C D cos ⁡ 45 ° = - 600

F B D + F C D 2 2 = - 600

F B D + F C D = - 600 2

Vamos somar essa equação com a que encontramos para o eixo x :

F B D - F C D = 500 2 F B D + F C D = - 600 2

2 F B D = 500 2 - 600 2

F B D = - 100 2 2

F B D = - 70,7   N

F B D = 70,7   N   C

Substituindo em qualquer uma das duas equações acima:

F B D + F C D = - 600 2

- 70,7 + F C D = - 600 2

F C D = - 777,8   N

F C D = 777,8   N   C

Passo 5

E finalmente, vamos analisar o nó B, e com isso descobrimos todas as forças:

Fazendo o somatório das forças para o eixo x :

∑ F x = 0

F B C + F B D cos ⁡ 45 ° - F A B - F B E cos ⁡ 45 ° = 0

A única força que não temos dessa equação é F B C , substituindo as outras vamos ter:

F B C + - 70,7 2 2 - 450 - 70,7 2 2 = 0

F B C = 70,7 2 2 + 450 + 70,7 2 2

F B C = 70,7 2 + 450

F B C = 550,0   N

F B C = 550,0   N   T

Resposta

F A B = 450   N   T

F B C = 550,0   N   T

F B D = 70,7   N   C

F B E = 70,7   N   T

F C D = 777,8   N   C

F D E = 500   N   C

F A E = 636,4   N   C

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