Enunciado

Determine a força no elemento C M da treliça carregada.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, aplicando as equações de equilíbrio no eixo x e no eixo y para cada nó, começando por A , depois indo para B , N e finalmente C . Primeiro vamos achar a reação feita pelo pino em A . Depois, pra fazer as equações pra cada pino precisamos das coordenadas de cada ponto, para termos os ângulos que os elementos fazem com a horizontal.

Passo 2

Primeiro, como o apoio em I não faz força horizontal A também não. Isso significa que a força no elemento A N é nula, pois não há outra força capaz de equilibrar uma carga horizontal em A . Agora, pela simetria da treliça e aplicando o equilíbrio de forças vertical, temos:

A y = I y

∑ F y = A y + B y - 5 L = 0 ⇒ 2 A y = 5 L ⇒ A y = 5 2 L

Consequentemente, a força no elemento A B é de compressão e:

A B = 5 2 L   ( C )

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos. Sendo a origem o centro dos arcos, para os pontos do arco de cima temos um raio de 18m, então:

x 2 + y 2 = 18 2 = 324 ⇒ y = 324 - x 2

As coordenadas do ponto E que está no meio são ( 0 ,   18 ) . Agora vamos achar para os pontos B , C e D .

x D = - 4 ⇒ y D = 324 - 3 2 = 324 - 16 = 308 = 17,55

x C = - 8 ⇒ 324 - 8 2 = 324 - 64 = 260 = 16,12

x B = - 12 ⇒ y B = 324 - 12 2 = 324 - 144 = 180 = 13,42

Para os pontos M e N que estão no arco de baixo de 16 m de raio:

x 2 + y 2 = 16 2 = 256 ⇒ y = 256 - x

x M = - 4 ⇒ y M = 256 - 4 2 = 256 - 16 = 240 = 15,49

x N = - 8 ⇒ = 256 - 8 2 = 256 - 64 = 192 = 13,86

Passo 4

Vamos agora fazer as equações de equilíbrio para o nó B:

Encontramos os ângulos através das coordenadas dos pontos:

tg ⁡ θ = y N - y B x N - x B = 13,86 - 13,42 - 8 - - 12 = 0,44 - 8 + 12 = 0,11

θ = arctg ⁡ ( 0,11 ) = 6,3 °

tg ⁡ α = y C - y B x C - x B = 16,12 - 13,42 - 8 - - 12 = 2,7 4 = 0,675

α = arctg ⁡ ( 0,675 ) = 34,02 °

Para o equilíbrio das forças horizontais:

∑ F x = 0 ⇒ - B C cos ⁡ 34,02 ° + B N cos ⁡ 6,3 ° = 0

⇒ - 0,829   B C + 0,994   B N = 0 ⇒ 0,829   B C = 0,994   B N

⇒ B C = 0,994 0,829 B N = 1,199   B N

Agora verticais:

B A - B C sen ⁡ 34,02 ° + B N sen ⁡ 6,3 ° = 0

Substituindo pelo valor de A B encontrado no Passo 2:

2,5 L - 0,559   B C + 0,11   B N = 0

Agora substituimos B C por 1,999   B N :

2,5 L - 0,559   1,199   B N + 0,11   B N = 0 ⇒ 2,5 L - 0,67   B N + 0,11   B N = 0

⇒ 0,56   B N = 2,5 L ⇒ B N = 4,46 L   ( T )

Agora voltando para a equação anterior encontramos B C :

B C = 1,199   B N ⇒ B C = 5,347 L   ( C )

Passo 5

Agora vamos para o nó N:

Pra achar β , fazemos o mesmo procedimento:

tg ⁡ β = y M - y N x M - x M = 15,49 - 13,86 - 4 - - 8 = 1,63 4 = 0,4075

⇒ β = arctg ⁡ ( 0,4075 ) = 22,17 °

Então fazemos a equação de equilíbrio das forças horizontais:

∑ F x = 0 ⇒ - 4,46 L cos ⁡ 6,3 ° + M N cos ⁡ 22,17 ° = 0 ⇒ 4,46 L 0,994 = 0,926   M N

⇒ 0,926   M N = 4,433 L ⇒ M N = 4,433 L 0,926 = 4,787 L   ( T )

Agora em y :

∑ F y = 0 ⇒ - 4,46 L sen ⁡ 6,3 ° + M N sen ⁡ 22,17 ° + C N - L = 0

Substituindo o valor de M N e os senos:

- 4,46 L 0,11 + 0,377 4,787 L + C N - L = 0

⇒ C N = L + 0,491 L - 1,805 L = - 0,314 L

Como o valor deu negativo, quer dizer que a força é de compressão e ntão de tração:

C N = 0,314 L   ( C )

Passo 6

Agora vamos ao nó C:

Novamente, primeiro achamos os ângulos:

tg ⁡ γ = y D - y C x D - x C = 17,55 - 16,12 - 4 - - 8 = 1,43 4 = 0,3575

γ = arctg ⁡ ( 0,3575 ) = 19,67 °

tg ⁡ δ = y C - y M x M - x C = 16,12 - 15,49 - 4 - - 8 = 0,63 4 = 0,1575

δ = arctg ⁡ 0,1575 = 8,95 °

Agora vamos às equações:

∑ F x = 0 ⇒ 5,347 L cos ⁡ 34,02 ° + C D cos ⁡ 19,67 ° + C M cos ⁡ 8,95 ° = 0

⇒ 5,347 L 0,829 + 0,942   C D + 0,988   C M = 0

Isolamos C D pra substituir na próxima equação:

0,942   C D = - 4,433 L - 0,988   C M ⇒ C D = - 4,706 L - 1,049   C M

Agora para as forças verticais:

∑ F y = 0 ⇒ 5,347 L sen ⁡ 34,02 ° + C D sen ⁡ 19,67 ° + 0,314 L - C M sen ⁡ 8,95 ° = 0

Substituindo os senos e o valor de C D encontrado anteriormente:

5,347 L 0,559 + 0,337   - 4,706 L - 1,049   C M + 0,314 L - 0,156 C M = 0

⇒ 2,989 L - 1,586 L - 0,354   C M + 0,314 L - 0,156   C M = 0

⇒ 1,72 L - 0,51   C M = 0 ⇒ C M = 1,72 0,51 L

⇒ C M = 3,4 L   ( T )

Resposta

C M = 3,4 L   ( T )

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