Enunciado

64. Localize o centroide y - da área da seção transversal da viga construída.

Passo 1

Antes de tudo, vamos lembrar como se acha as coordenadas do centro de gravidade do corpo composto.

x - = ∑ x   ~ W ∑ W                 y - = ∑ y   ~ W ∑ W                   z - = ∑ z   ~ W ∑ W

Como o enunciado no pede apenas o y - podemos deixar os outros de lado.

Essa questão parece um pouco assustadora, mas o primeiro passo é entendê-la e separá-la que vai ficar bem fácil. Então, para início de conversa vamos refazer o desenho de forma simplificada:

Agora que temos a imagem simplificada vamos fazer uma tabelinha semelhante a que foi feita neste capítulo para saber o que cada coisa é nos três segmentos que separamos. E a cada passo vamos completando uma parte dessa tabela:

Passo 2

Segmento 1:

Se desenharmos apenas o segmento 1 teremos essa imagem:

Assim fica simples, pois podemos ver claramente que essa parte é um retângulo, e sabemos muito bem qual é a área do retângulo. Certo?

A = b ⋅ h = 40 ⋅ 450 = 18000   m m 2

Agora precisamos da coordenada y   ~ que é a coordenada da parte do composta do corpo, ou seja, o y   ~ do nosso segmento 1.

Bom, podemos ver que o nosso segmento é simétrico então o centroide se encontra exatamente no meio dele, e como só queremos o y   ~   basta só usarmos a altura do segmento.

y   ~ = 450 2 = 225   m m

Preenchendo na nossa tabelinha teremos:

Passo 3

Segmento 2:

Desenhando apenas o segmento 2 teremos essa imagem:

Bom, aqui precisaremos de mais atenção pois o nosso segmento está à uma certa altura do chão e essa altura vai entrar nos nossos cálculos daqui a pouco, porém vamos um passo de cada vez.

Primeiro precisaremos da área do segmento e podemos ver que as laterais se trata de dois retângulos. Na página 357 do livro podemos ler a seguinte frase “ Se um corpo composto possui um furo ou uma região geométrica sem material então considere o corpo composto sem o furo.”

O que isso nos diz? Que podemos considerar apenas os retângulos da lateral e sabemos bem como achar a área do retângulo

Á r e a   d o   r e t â n g u l o = b ⋅ h = 200 ⋅ 10 = 2000   m m 2

Porém, são dois retângulos idênticos então para achar a área é só multiplicar esse valor acima por 2.

A = 2000 ⋅ 2 = 4000   m m 2

Agora precisamos da coordenada y   ~ que é a coordenada da parte do composta do corpo, ou seja, o y   ~ do nosso segmento 2.

Bom, podemos ver que o nosso segmento é simétrico então o centroide se encontra exatamente no meio dele, e como só queremos o y   ~   basta só usarmos a altura do segmento.

y   ~ = 200 2 = 100   m m

Mas só isso está certo? Não, não está!

Lembra que eu falei que o segmento está a uma certa altura do chão? Então, o centroide desse segmento também está. Como eles estão a uma altura de 300   m m então o verdadeiro y   ~ é:

y   ~ = 100 + 300 = 400   m m

Preenchendo na nossa tabelinha teremos:

Passo 4

Segmento 3:

Desenhando apenas o segmento 3 teremos essa imagem:

Nosso último segmento facilita bastante a nossa vida pois podemos ver claramente que essa parte é um retângulo, e sabemos muito bem qual é a área do retângulo. Certo?

A = b ⋅ h = 400 ⋅ 20 = 8000   m m 2

Agora precisamos da coordenada y   ~ que é a coordenada da parte do composta do corpo, ou seja, o y   ~ do nosso segmento 3.

Bom, podemos ver que o nosso segmento é simétrico então o centroide se encontra exatamente no meio dele, e como só queremos o y   ~   basta só usarmos a altura do segmento.

y   ~ = 20 2 = 10   m m

Mas só isso está certo? Não, não está!

Assim como o segmento anterior, o segmento 3 também está à uma certa altura do chão e essa altura vai entrar nossos cálculos. Como eles estão a uma altura de 500   m m então o verdadeiro y   ~ é:

y   ~ = 10 + 500 = 510   m m

Preenchendo na nossa tabelinha teremos:

Passo 5

Agora que temos quase temos quase tudo que queremos basta fazer os somatórios necessários e aplicar na primeira formulinha lá do início.

y - = ∑ y   ~ A ∑ A = 9730 ⋅ 10 3 ( m m 3 ) 30000   ( m m 2 ) = 324,3   m m

Resposta

y - ≈ 324   m m

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