Enunciado

6.49. Uma treliça de telhado de uma água é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos CF, DE e DF.

Passo 1

Vamos fazer o desenho disso

O que a gente consegue tirar só da imagem são as forças de reação nas pontas

A x = I x = 1 2 ∑ F x = 0

E

A y = I y = 1 2 ∑ F y = 4   k N

Passo 2

O melhor que a gente pode fazer aqui é usar o método das seções, vamos seccionar desse jeito

E aí a gente tem

Coloquei mais um ponto K ali na ponta só por questão de perspectiva.

Vamos só fazer uma pequena mudança nos vetores para trabalharmos os momentos

A gente pode determinar aquela distancia K A - usando propriedade de semelhança de triângulos.

Então a gente tem que

A B - K A - = L J - B L -

A gente pode determinar L J -

L J - = I J - - A B - = 2,62 - 0,46 = 2,16

E também

B L - = 4 ⋅ 2,4 = 9,6

Então vamos isolar K A -

K A - = B L - L J - ⋅ A B - = 9,6 2,16 ⋅ 0,46 = 2,044   m

Passo 3

Beleza, agora a gente pode calcular os momentos, vamos usar o momento no ponto D.

∑ M D = 0

F C E ⋅ 1 + 1 ⋅ 2,4 - A x ⋅ 2,4 = 0

Mas A x = 4   k N

F C E = 4 ⋅ 2,4 - 2,4 = 7,2   k N

E como é positivo, nossa representação do vetor está correta e é uma força de tração.

Agora para achar F D E vamos usar o momento em K

∑ M K = 0

A x ⋅ 2,0444 - 1 ⋅ 2,0444 - 2 ⋅ 4,4444 - F D E y ⋅ 6,8444 = 0

A gente pode usar esse triângulo para determinar a componente em y de F D E

Vamos usar de novo o esquema de semelhança de triângulos para determinar C D -

C D - K C - = L J - B L -

C D - = 2,16 9,6 ⋅ 2,0444 + 2,4 ≈ 1

Então

D E - = 1 2 + 2,4 2 = 2,6

Logo

F D E y = F D E ⋅ cos ⁡ θ = F D E 1 2,6

Então vamos voltar

A x ⋅ 2,0444 - 1 ⋅ 2,0444 - 2 ⋅ 4,4444 - F D E 1 2,6 ⋅ 6,8444 = 0

Isolando F D E

F D E = - 1,047   k N

E como a força é negativa, a força é de compressão.

E agora vamos usar o momento em E.

∑ M E = 0

1 ⋅ 4,8 + 2 ⋅ 2,4 - A x ⋅ 4,8 - F D F x ⋅ E F - = 0

Beleza agora vamos determinar t e y

Bem, y = C D - = 1 , agora vamos determinar E F - para chegar em t

E F - K E - = L J - B L -

E F - = 2,16 9,6 ⋅ 2,0444 + 2,4 + 2,4 = 1,54

Então

t = E F - - y = 0,54

Agora temos

Agora vamos fazer a hipotenusa

D F - = 2,4 2 + 0,54 2 = 2,46

F D F x = F D F ⋅ cos ⁡ θ = F D F 2,4 2,46

4,8 + 2 ⋅ 2,4 - 4 ⋅ 4,8 - F D F 2,4 2,46 ⋅ E F - = 0

Então

F D F = - 6,39   k N

E como a força está negativa a força é de compressão.

Resposta

F C E = 7,2   k N

F D E = - 1,047   k N

F D F = - 6,39   k N

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