Enunciado

6.51. Uma treliça de telhado Howe em forma de tesoura é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos DF, DG e EG.

Passo 1

Vamos fazer o desenho disso

O que a gente consegue tirar só da imagem são as forças de reação nas pontas

A x = L x = 1 2 ∑ F x = 0

E

A y = L y = 1 2 ∑ F y = 21,6   k N

Passo 2

O melhor que a gente pode fazer aqui é usar o método das seções, vamos seccionar desse jeito

E aí a gente tem

Só vamos mudar um pouquinho o vetor de lugar para facilitar as contas

Passo 3

Beleza, agora a gente pode calcular os momentos, vamos usar o momento no ponto G. Repare que as forças F D G , F E G são forças que agem no ponto G, então elas não são consideradas no momento.

∑ M G = 0

3,6 ⋅ 7,2 + 7,2 ⋅ 4,8 + 7,2 ⋅ 2,4 - A y ⋅ 7,2 - F D F x ⋅ y = 0

3,6 ⋅ 7,2 + 7,2 ⋅ 4,8 + 7,2 ⋅ 2,4 - 21,6 ⋅ 7,2 - F D F ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 1,8 = 0

Sendo que θ é o ângulo que a direção AF faz com a horizontal.

Vamos usar esse triângulo para ajudar

F D F x = F D F ⋅ cos ⁡ θ

Vamos precisar calcular a hipotenusa desse triângulo

A F = 3,2 2 + 7,2 2 = 7,88

cos ⁡ θ = 3,2 7,88 = 0,4

3,6 ⋅ 7,2 + 7,2 ⋅ 4,8 + 7,2 ⋅ 2,4 - 21,6 ⋅ 7,2 - F D F ⋅ 0,4 ⋅ 1,8 = 0

Agora a gente pode encontrar F D F já que é a única incógnita na equação.

F D F ⋅ 0,4 ⋅ 1,8 = - 77,76

F D F = - 77,76 0,4 ⋅ 1,8 =   - 108   k N

Agora a gente pode calcular o momento no ponto A, repare antes que as forças F D F e F E G não produzem nenhum efeito de rotação se estivermos analisando o ponto A, portanto são forças desprezíveis no cálculo do momento.

∑ M A = 0

- 7,2 ⋅ 7,2 - 7,2 ⋅ 4,8 - 7,2 ⋅ 2,4 - F D G x ⋅ y - F D G y ⋅ x = 0

Vamos decompor F D G ! Mas falta uma coisa ainda: um dos catetos está faltando. Então a gente tem que determinar a distância em y da reta G D - y , para isso a gente isso a gente usa a propriedade dos triângulos semelhantes. Traçando retas horizontais pelos pontos A e D, formamos 2 triângulos semelhantes. E assim podemos achar a altura h mostrada no desenho.

h 2,4 = 1,8 + 1,4 3 × 2,4

h = 1,07   m

Assim a distância vertical da reta GD será:

G D - y = 1,8 - h = 0,733   m

Agora a gente pode finalmente decompor F D G

Ainda precisamos calcular a hipotenusa, :/

D G = 0,733 2 + 2,4 2 = 2 , 51

F D G x = F D G ⋅ cos ⁡ θ = F D G 2,4 2 , 51

F D G y = F D G ⋅ sin ⁡ θ = F D G 0,733 2,84

∑ M A = - 7,2 ⋅ 7,2 - 7,2 ⋅ 4,8 - 7,2 ⋅ 2,4 - F D G 2,4 2,84 ⋅ 1,4 + 0,733 - F D G 0,733 2,84 ⋅ 4,8 = 0

Agora a gente isola F D G

F D G ⋅ ( - 3,04 ) = 103,68

F D G = - 34,1   k N

Agora para determinar F E G vamos usar o momento em D

∑ M D = 0

3,6 ⋅ 4,8 + 7,2 ⋅ 2,4 - 21,6 ⋅ 4,8 - F E G x ⋅ y = 0

Agora precisamos decompor a força F E G   e encontrar a distância vertical da barra EG. Se traçarmos 2 horizontais, partindo dos pontos A e E, criamos 2 triângulos semelhantes. E a altura GM é igual a distância vertical da barra EG.

Pela semelhança de triângulos:

G M 2,4 = 1,4 3 × 2,4

y = G M = 0,467   m

Do triângulo EGM, achamos o comprimento da barra EG:

E G = 2,4 2 + 0,467 2 = 2,445

Então, decompondo F E G   :

F E G x = F E G 2,4 2,445

Assim,

3,6 ⋅ 4,8 + 7,2 ⋅ 2,4 - 21,6 ⋅ 4,8 - F E G 2 , 4 2,4 5 ⋅ 0,467 = 0

F E G = - 151   k N  

Resposta

F D F = - 108   k N

F D G = - 34,1   k N

F E G = - 151   k N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6.58. Uma treliça de telhado do estádio é carregada al como mostra a figura. Determine a força nos elementos AE, EF e FJ.
6.56. Determine a força nos elementos AB, AG e FG na treliça mostrada na figura.
Determine a força em cada um dos elementos localizados à esquerda do elemento FG para a treliça de telhado em tesoura mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.
Determine a força em cada um dos elementos localizados à direita do elemento FG para a treliça de telhado em tesoura mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.
Determine a força em cada elemento da treliça mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.