Enunciado

Determine a força em cada elemento da treliça mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.

Passo 1

Vamos começar o exercício desenhando o diagrama de corpo livre da treliça:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F:

+ ↺ ∑ M F = 0

G 6 - 67,5 4,8 - 180 4,5 = 0 → G = 189   k N

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

F x + 67,5 = 0 → F x = - 67,5   k N

Agora aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

F y - 180 + 189 = 0 → F y = - 9 k N

Passo 2

Agora vamos analisar o nó F:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

1,5 3,35 F D F - 67,5 = 0 → F D F = 150,8   k N   ( T )

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

F B F - 9 + 3 3,35 150,8 = 0 → F B F = - 126   k N → F B F = 126   k N   ( C )

Agora vamos analisar o nó B:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

3 3,23 F A B + 1,5 2,34 F B D + 67,5 = 0 → F A B = - 72,67 - 0,69 F B D

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

1,2 3,23 F A B - 1,8 2,34 F B D + 126 = 0

Substituindo a expressão encontrada para F A B :

0,371 - 72,67 - 0,69 F B D - 0,769 F B D = - 126 → F B D = 96,6   k N   ( T )

Substituindo esse valor na equação para F A B :

F A B = - 72,67 - 0,69 F B D → F A B = - 6   k N → F A B = 6   k N   ( C )

Agora vamos analisar o nó D:

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

3 3,35 F A D - 3 3,35 150,8 + 1,8 2,34 96,6 = 0 → F A D = 67,8   k N   ( T )

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

F D E + 1,5 3,35 67,8 - 1,5 3,35 150,8 - 1,5 2,34 96,6 = 0 → F D E = 99,1   k N   ( T )

Passo 3

Agora vamos analisar o nó A:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

3 3,23 F A C + 1,5 3,35 F A E + 3 3,23 6 - 1,5 3,35 67,8 = 0 → F A C = 26,68 - 0,482 F A E

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

- 1,2 3,23 F A C + 3 3,35 F A E + 1,2 3,23 6 - 3 3,35 67,8 = 0

Substituindo a expressão encontrada para F A C :

- 0,371 26,68 - 0,482 F A E + 0,895 F A E = 58,49 → F A E = 63,7   k N   ( T )

Substituindo o valor encontrado na expressão para F A C :

F A C = 26,68 - 0,482 F A E → F A C = - 4   k N → F A C = 4   k N   ( C )

Agora vamos analisar o nó C:

Aplicando semelhança de triângulos entre os triângulos de força e de comprimento, temos:

F C E 2,34 = F C G 3 = 4 3,23

Analisando a primeira e terceira parcelas, temos:

F C E 2,34 = 4 3,23 → F C E = 2,9   k N   T

E, agora, analisando a segunda e terceira parcelas:

F C G 3 = 4 3,23 → F C G = 3,7   k N   ( C )

E por último temos o nó G:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

- 1,5 3,35 F E G = 0 → F E G = 0

Resposta

F E G = 0

F C G = 3,7   k N   ( C )

F C E = 2,9   k N   T

F A C = 4   k N   ( C )

F A E = 63,7   k N   ( T )

F D E = 99,1   k N   ( T )

F A D = 67,8   k N   ( T )

F A B = 6   k N   ( C )

F B D = 96,6   k N   ( T )

F B F = 126   k N   ( C )

F D F = 150,8   k N   ( T )

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