Enunciado

82- Uma das extremidades da placa fina está sendo lixada pela lixa rotativa sob a aplicação da força P . Se o coeficiente efetivo de atrito dinâmico é μ e se a pressão é essencialmente constante sobre a extremidade da placa, determine o momento M que deve ser aplicado pelo motor de forma a girar o disco a uma velocidade angular constante. A extremidade da placa está centrada ao longo do raio do disco.

Passo 1

Na figura é dito que a seção transversal tem largura igual a R / 2 , porém não é dito a altura dessa placa. Como é dito que é uma placa fina vamos supor que ela tem altura igual a t e que t é bem pequeno. Logo a força P que essa placa exerce sobre o disco é de:

P = p A

Que é a pressão média multiplicado pela área.

Como consideramos uma espessura t e ela tem largura de R / 2 logo sua área será.

P = p t R 2

Isolando a pressão média nós teremos.

p = 2 P R p t

Passo 2

Nossa placa aplica uma força P na seguinte região da placa.

Onde o elemento de área desse pequeno retângulo pode ser escrito como:

d A = t d r

Onde t é a espessura da placa a ser lixada e d r uma pequena largura que variará de R / 4 até 3 R / 4 .

Passo 3

Dessa forma podemos calcular nosso momento no disco que será a integral:

M = ∫ μ p r d A

Substituindo o valor da área temos:

M = ∫ R / 4 3 R / 4 μ p r t d r

M = μ p t r 2 2 R / 4 3 R / 4 = μ p t 9 R 2 32 - R 2 32 = μ p t 8 R 2 32 = 1 4 μ p t R 2

Porém do passo 1 já sabemos qual o valor da pressão média que é :

p = 2 P R p t

Substituindo temos:

M = 1 4 μ 2 P p t p t R 2 = μ P R 2

Resposta

M = μ P R 2

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