Enunciado

O eixo está sujeito a uma força axial P . Se a pressão reativa sobre o mancal cônico é uniforme, determine o torque M que é apenas o suficiente para girar o eixo. O coeficiente de atrito estático na superfície de contato é μ s .

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre dessa situação para entendermos a situação da nossa questão! Para a base do mancal, temos:

Passo 2

Essa questão não é tããão complicada, só precisamos ir com calma! Bom, se o sistema está em equilíbrio, sabemos que o somatório de forças nos eixos de referência ( x ,   y , z ) devem ser iguais a zero. Assim, vamos olhar para o diagrama de corpo livre ( a ) . Assumindo como direção positiva para cima, temos:

∑ F y = 0

2 N 2 c o s θ - P = 0

P = N c o s θ

N = P c o s θ

Passo 3

A área do elemento diferencial mostrada na figura ( b ) é dada por d A = 2 π r d s = 2 π c o s θ r d r . Assim,

A = ∫ A a d A = ∫ d 1 2 d 2 2 2 π c o s θ r d r = π 4 c o s θ d 2 2 - d 1 2

Portanto, a pressão que atua na superfície cônica do mancal é:

p = N A = P c o s θ π 4 c o s θ d 2 2 - d 1 2

p = 4 P π d 2 2 - d 1 2

Agora que descobrimos o valor da pressão, podemos achar quanto vale a normal. A força normal atuante no elemento demencial de área d A é dada por:

d N = p d A = 4 P π d 2 2 - d 1 2 2 π c o s θ r d r

d N = 8 P d 2 2 - d 1 2 c o s θ r d r

Assim, a força de atrito no elemento diferencial é dada por:

d F = μ s d N = 8 μ s P d 2 2 - d 1 2 c o s θ r d r

Passo 4

Para todo sistema em equilíbrio, o somatório de momentos em relação a um ponto deve ser igual a zero. Assim, assumindo que o sentido anti-horário é positivo, temos:

∑ M = 0

M - ∫ r d F = 0

M = ∫ r d F = 8 μ s P d 2 2 - d 1 2 c o s θ ∫ d 1 2 d 2 2 r 2 d r

M = μ s P 3 c o s θ d 2 3 - d 1 3 d 2 2 - d 1 2

Resposta

O torque M que é apenas o suficiente para girar o eixo é:

M = μ s P 3 c o s θ d 2 3 - d 1 3 d 2 2 - d 1 2

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