Enunciado

9.118 Uma carga de vento cria uma pressão negativa (sucção) sobre o outro lado, como mostra a figura. Se essa carga de pressão atua uniformemente ao longo do comprimento da chaminé, determine a intensidade da força resultante criada pelo vento.

Passo 1

Falaaa... belezinha???

Nessa questão vamos precisar calcular a força resultante a partir da pressão, então usamos a equação:

F R = ∫ A p d A

Mas podemos dividir em duas partes:

F R x = ∫ A p x d A

F R y = ∫ A p y d A

Passo 2

Se liga só no esquema da questão:

A gente precisa sacar duas coisas:

- A primeira é reparar que a gente vai precisar multiplicar por 2 porque tem dois vetores apontando pra mesma direção.

- A segunda é que a pressão não é constante, ela varia com o ângulo θ .

Então a pressão em x fica:

p x = p cos ⁡ θ

E a pressão em y fica:

p y = p sen ⁡ θ

Outra coisa que precisamos definir é o d A , né?

Repara que a área é a lateral do cilindro, então ficamos com:

d A = r l d θ

E repara também que os limites de integração vão de - π 2 até π 2 . (já que só o θ varia, o r não varia.

Passo 3

Showww... Agora é só a gente jogar nas integrais e resolver:

- Pra x :

F R x = 2 ∫ A p x d A

F R x = 2 ∫ - π 2 π 2 p 0 cos ⁡ θ cos ⁡ θ   r l   d θ

F R x = 2 p o l r ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

E resolvendo essa integral: (como cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 )

F R x = 2 p o l r ∫ - π 2 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

F R x = 2 p 0 l r θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4 - π 2 π 2

F R x = 2 p 0 l r π 4 + sen ⁡ 2 π 2 4 - - π 4 - sen ⁡ 2 - π 2 4

F R x = 2 p 0 l r π 2

F R x = π l r p 0

- Pra y :  

F R y = 2 ∫ A p y d A

F R y = 2 ∫ - π 2 π 2 p 0 cos ⁡ θ sen ⁡ θ   r l   d θ

F R y = 2 p 0 r l   ∫ - π 2 π 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral:

Fazendo, por substituição, u = sen ⁡ θ :

d u = cos ⁡ θ d θ

∫ u d u = u 2 2

= sen 2 ⁡ θ 2

E voltando pra nossa integral:

F R y = 2 p 0 r l sen 2 ⁡ θ 2 - π 2 π 2

F R y = 2 p 0 r l 1 2 - - 1 2

F R y = 0

Então a força resultante vai ser:

F R = F R x 2 + F R y 2

F R = π l r p 0

Ufaaa... Essa deu um trabalhinho, mas foi. Bora pra próxima??

Resposta

F R = π l r p 0

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Substitua o carregamento por uma única força resultante e especifique sua posição na viga, medida a partir do ponto A.
Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na viga, medida a partir do ponto A.
Substitua o carregamento por uma única força resultante e especifique a posição da força, medida a partir do ponto O.
Substitua o carregamento por uma força e um momento de binário equivalentes que agem no ponto O.
Substitua o carregamento por uma força resultante e um momento de binário equivalentes que agem no ponto O.