Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo x.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo bem? Bora pra mais uma questão.

A fórmula geral para o momento de inércia de uma área em relação ao eixo x é:

I x = ∫ A y 2 d A

Onde:

y é a distância do elemento de área d A ao eixo x

d A é o elemento diferencial de área

Para calcular I x ​, é mais conveniente escolher um elemento de área horizontal (uma tira paralela ao eixo   x ).

Passo 2

A equação da curva é dada por y 2 = 1 - 0.5 x . precisamos isolar x para usá-las em nossa integral em termos de y .

y 2 = 1 - 0.5 x

0.5 x = 1 - y 2

x = 1 - y 2 0.5

x = 2 1 - y 2

x = 2 - 2 y 2

Agora, substituímos d A e a expressão para x na fórmula do momento de inércia:

I x = ∫ A y 2 x d y

Observando a figura, a área se estende de y = 0 até y = 1 m. Portanto, esses são nossos limites de integração.

I x = ∫ 0 1 y 2 2 - 2 y 2 d y

I x = ∫ 0 1 2 y 2 - 2 y 4 d y

I x = 2 ⋅ y 3 3 - 2 ⋅ y 5 5 0 1

I x = 2 1 3 3 - 2 1 5 5 - 2 0 3 3 - 2 0 5 5

I x = 2 3 - 2 5 - 0

I x = 4 15

Resposta

I x = 4 15

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