Determine o momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo y' , que passa pelo centroide C da área.

Passo 1

Fala aí! tudo certo?

Nesse problema foi dado um paralelogramo bem esquisito e nosso objetivo é calcular seu momento de inércia em relação ao eixo y ' que passa pelo centroide da área.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema, temos que usar o teorema dos eixos paralelos:

I y ' = I y ' - + A d x 2

Assim, podemos simplificar a figura a encontrar o resultado.

Saca só!

Passo 2

Vamos começar redesenhando a figura:

Separando em três formas primitivas, temos que o momento de inércia é:

I y ' = I Q u a d r a d o + 2 I T r i â n g u l o

Se as hipotenusas dos triângulos medem a , então a altura do quadrado é:

h = a s in ⁡ θ

e também podemos tirar que a largura do quadrado é:

l = b - a co s ⁡ θ

Sendo a sin ⁡ θ a base do triângulo.

Começando pelo quadrado, temos que como seu centro também é o centroide da área, temos que:

I y , Q u a d r a d o = a s in ⁡ θ b - a co s ⁡ θ 3 12 = a s in ⁡ θ b 3 - 3 a b 2 co s ⁡ θ + 3 a 2 b co s 2 ⁡ θ - a 3 co s 3 ⁡ θ 12

I y , Q u a d r a d o = a b 3 s in ⁡ θ - 3 a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 a 3 b sin ⁡ θ co s 2 ⁡ θ - a 4 sin ⁡ θ co s 3 ⁡ θ 12

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos olhar para os triângulos...

Sabemos a medida da sua altura, sua base e a distância dos seus centroides para o centroide da figura.

Pelo teorema dos eixos paralelos:

I y ' = I y ' - + A d x 2

Logo:

I y , T r i â n g u l o = a s in ⁡ θ a cos ⁡ θ 3 36 + a s in ⁡ θ a cos ⁡ θ 2 a cos ⁡ θ 3 + b - a cos ⁡ θ 2 2

Simplificando...

I y , T r i â n g u l o = a 4 sin ⁡ θ co s 3 ⁡ θ 36 + a 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 a co s ⁡ θ 3 + b 2 - a co s ⁡ θ 2 2

I y , T r i â n g u l o = a 4 sin ⁡ θ co s 3 ⁡ θ 36 + a 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 b - a co s ⁡ θ 3 2

I y , T r i â n g u l o = a 4 sin ⁡ θ co s 3 ⁡ θ 36 + a 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 b 2 - 2 a b co s ⁡ θ 3 + a 2 co s 2 ⁡ θ 9

I y , T r i â n g u l o = a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 36 + a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 - a 3 b sin ⁡ θ co s 2 ⁡ θ 6 + a 4 s in ⁡ θ co s 3 ⁡ θ 36

I y , T r i â n g u l o = a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 36 + a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 - a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 6

Show?

Passo 4

Agora vamos juntar os dois resultados e tentar simplificar o máximo...

I y ' = I Q u a d r a d o + 2 I T r i â n g u l o

I y ' = a b 3 sin ⁡ θ - 3 a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 12 + 2 a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 36 + a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 - a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 6

I y ' = a b 3 sin ⁡ θ 12 - a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 4 - a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 12 + a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 9 + a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 - a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 3

I y ' = a b 3 sin ⁡ θ 12 + a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 - a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 12 + a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 36

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

I y ' = a b 3 sin ⁡ θ 12 + a 2 b 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 - a 3 b sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 12 + a 4 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 36

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