Enunciado

A aceleração angular de um eixo é definida pela relação α = - 0,25 ω , sendo α expresso em r a d / s 2 e ω em r a d / s . Sabendo que em t = 0 a velocidade angular do eixo é 20   r a d   / s , determine ( a ) o número de revoluções que o eixo executará antes de chegar ao repouso, ( b ) o tempo necessário para que o eixo chegue ao repouso, ( c ) o tempo necessário para que a velocidade angular do eixo seja reduzida a 1 % de seu valor inicial.

Passo 1

Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Dinâmica. Primeiro, temos que determinar o número de revoluções que o eixo executará antes de chegar ao repouso. Para isso, vamos utilizar a relação para a aceleração angular que o enunciado nos dá:

α = - 0,25 ω

Sabemos que a aceleração angular pode ser dada a partir da derivada de ω em teta, portanto:

α = ω d ω d θ = - 0,25 ω d ω = - 0,25   d θ

Em seguida, vamos integrar os dois lados da equação.

Como desejamos calcular o número de revoluções até o repouso, temos que adequar os limites de integração a essa situação. Para a velocidade angular, temos ω 0 = 20   r a d / s e ω 1 = 0 . E para encontrarmos as revoluções, precisamos encontrar a distância θ percorrida até o repouso.

Logo, nossos limites de integração vão ser:

∫ 20 0 d ω = - ∫ 0 θ 0,25   d θ

Integrando:

0 - 20 = 0,25 θ θ = 80   r a d

Agora, basta utilizarmos a seguinte relação para encontrarmos o número de revoluções:

θ = 80   r a d r e v 2 π   r a d θ = 12,73   r e v

Passo 2

Na próxima parte do exercício, temos que determinar o tempo necessário para que o eixo chegue ao repouso. Desta vez, vamos escrever a relação para a aceleração angular como a derivada em função do tempo da velocidade angular. Fica assim:

α = - 0,25 ω α = d ω d t = - 0,25 ω d ω ω = - 0,25 d t

Integrando os dois lados da equação, temos:

∫ d ω ω = ∫ - 0,25 d t

Quanto aos limites de integração, temos:

∫ 20 ω d ω ω = - 0,25 ∫ 0 t d t ln ⁡ ω 20 ω = - 0,25 t t = - 1 0,25 ln ⁡ ω - ln ⁡ 20 = 4 ln ⁡ 20 - ln ⁡ ω t = 4 ln ⁡ 20 ω  

No repouso, a velocidade ω é 0 . Assim, aplicando o limite, temos:

lim ω → 0 ⁡ t = lim ω → 0 ⁡ 4 ln ⁡ 20 ω

Resolvendo este limite, temos que o tempo para é repouso é:

t = ∞

Opa, galera. Agora que encontramos o tempo até o repouso, só falta mais um passo.

Passo 3

Por fim, para determinarmos o tempo necessário para que a velocidade angular do eixo seja reduzida a 1 % de seu valor inicial, vamos utilizar a relação para o tempo que a gente encontrou:

t = 4 ln ⁡ 20 ω

Para que a velocidade seja reduzida a 1 % da velocidade angular inicial, temos que escrevê-la assim:

ω = 0,01 ω 0 = 0,01 20 ω = 0,2   r a d

Substituindo na relação para o tempo, temos:

t = 4 ln ⁡ 20 ω = t = 4 ln ⁡ 20 0,2 t = 18,42   s

É isso, galerinha. Bora praticar mais!

Resposta

θ = 12,73   r e v

t = ∞

t = 18,42   s

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