Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica - Capítulo 15.Problemas - Ex. 103

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desse livro

Usando o método da Seção 15.7, resolva o Problema 15.65.

Passo 1

E aí meus caros! Simbora pra mais uma questão do Beer!

Bom! A gente quer determinar as velocidades angulares das barras B D e D E !

O raciocínio aqui é o mesmo das questões 102 e 103 ! A palavra da vez agora, é versores!

Vamos usar os versores i ^ , j ^ e k ^ ... E logo abaixo, está mostrada a situação em que devemos usá-los...

i ^ → E i x o   x

j ^ → E i x o   y

k ^ → S e n t i d o   d e   r o t a ç ã o   ( - k ^   p a r a   o   h o r á r i o   e   k ^   p a r a   o   a n t i - h o r á r i o )

Feshow!? Agora, vamos posicionar um eixo de coordenadas naquela figura do enunciado...

Outra coisa que é importante saber também é a tabela de produto vetorial entre versores...

Passo 2

Vamos começar pela barra A B . A barra está girando a 4   r a d / s no sentido horário. Logo...

ω A B = 4   r a d / s ⤾ = ( 4   r a d / s ) ( - k ^ )

ω → A B = - 4 k ^   r a d / s

E o vetor de posição de B em relação a A , é dado por...

r → B / A = 400 i ^ + 800 j ^   m m

r → B / A = 0,4 i ^ + 0,8 j ^   m

Logo, a velocidade em B , uma vez que A está fixo, ou seja, só tem rotação... Vai ser dada por:

v → B = ω → A B × r → A B

v → B = ( - 4 k ^   r a d / s ) × [ 0,4 i ^ + 0,8 j ^   m ]

v → B = - 1,6 j ^ + 3,2 i ^     m / s

Passo 3

Em seguida, vamos partir pra barra B D . A velocidade angular dela, que ainda não sabemos, é dada por...

ω → B D = ω B D k ^

E a velocidade em D vai ser dada pela soma da translação em B   mais rotação sobre B ...

v → D = v → B + ω → B D × r → D / B

Como o vetor posição de D pra B é dado por...

r → D / B = ( 800   m m ) ( - i ^ )

r → D / B = - 0,8 i ^   m

Desse modo...

v → D = v → B + ω → B D × r → D / B

v → D = - 1,6 j ^ + 3,2 i ^     + ω B D k ^ × ( - 0,8 i ^   m )

v → D = ( - 1,6 j ^ - 0,8 ω B D j ^ + 3,2 i ^ )   m / s

v → D = [ - 1,6 - 0,8 ω B D j ^ + 3,2 i ^ ]   m / s

Passo 4

Continuando nossa raciocínio, vamos agora barra D E . A velocidade angular dela, que ainda não sabemos, é dada por...

ω → D E = ω D E k ^

Como a velocidade vai ser dada apenas pela rotação, já que E está fixo. Podemos determinar a velocidade em D como...

v → D = ω → D E × r → D / E  

Como o vetor posição de D pra E é dado por...

r → D / E = - 400 i ^ + 500 j ^   m m

r → D / E = - 0,4 i ^ + 0 , 5 j ^   m

Obtemos então, que...

v → D = ω → D E × r → D / E  

v → D = ω D E k ^ × [ - 0,4 i ^ + 0 , 5 j ^   m ]

v → D = - 0,4 ω D E j ^ - 0,0 5 ω D E i ^   m / s

Passo 5

Agora, é só uma questão de igualar as velocidades em D que obtivemos nos P a s s o s 3 e 4 ...

v → D = - 0,4 ω D E j ^ - 0 , 5 ω D E i ^   m / s = [ - 1,6 - 0,8 ω B D j ^ + 3,2 i ^ ]   m / s

Relacionando as partes com os mesmos versores. Em i ^ , temos que...

- 0,0 5 ω D E = 3,2

ω D E = - 3,2 0,5

ω D E = - 6,4   r a d / s  

ω D E = 6,4   r a d / s   ⤾

Em j ^ , por sua vez...

- 0,4 ω D E = - 1,6 - 0,8 ω B D

0,8 ω B D = 0,4 ω D E - 1,0

0,8 ω B D = - 0,4 ⋅ 6,4 - 1,6

ω B D = - 4,16 0,8

ω B D = - 5,2   r a d / s

ω B D = 5,2   r a d / s   ⤾

Quando o sinal dá negativo, é porque a barra gira no sentido horário!

Pronto! Conseguimos obter as velocidades angulares de B D e D E !

Bora pra frente que atrás vem gente!

Resposta

ω B D = 5,2   r a d / s   ⤾

ω D E = 6,4   r a d / s   ⤾

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