Enunciado

Uma aeronave a jato faz um desvio ascendente em uma curva vertical como apresentado. Quando passa a posição onde θ = 30 ° , sua velocidade é de 1000   k m / h e está diminuindo na taxa de 15   k m / h por segundo. Se o raio de curvatura p da trajetória de voo é de 1,5   k m neste ponto, calcule as respectivas componentes horizontal e vertical, x ¨ e y ¨ , da aceleração da aeronave.

Passo 1

Vamos começar pensando em coordenadas polares, depois a gente pode projetar tudo nas coordenadas retangulares.

A aceleração tem duas componentes: uma normal (que aponta para o centro da trajetória) e uma tangencial (que é tangente à trajetória).

A normal multa a direção da velocidade, e a tangencial muda o módulo da velocidade:

a t = d d t v → = d d t v = v ˙

a n = v 2 ρ

Ótimo, já temos tudo o que precisamos.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada do módulo da velocidade. O próprio enunciado já diz que ela diminui pela seguinte “taxa”:

15   ( k m / h ) s = 4,16   ( m / s ) s = 4,16   m / s 2

Com raras exceções, “taxa” é uma outra palavra para derivada! Ou seja:

a t = v ˙ = 4,16   m / s 2

Passo 3

E agora para calcular a aceleração normal é só usar a fórmula:

a n = v 2 ρ = ( 1000   k m / h ) 2 1,5   k m = ( 277,8   m / s ) 2 1,5   .   10 3   m ≅ 51,4     m / s 2

Acabou? Não! Esses são os módulos das acelerações tangencial e normal, mas essas acelerações são vetores nas direções da tangente e do raio, o que a questão pediu foram as acelerações nas coordenadas x e y .

É só tirar proveito daquele ângulo θ ali!

E agora projetando os vetores (não esqueça dos sinais):

x ¨ = - a t cos ⁡ θ - a n sen ⁡ θ = - 4,16 cos ⁡ 30 ° - 51,4 sen ⁡ 30 °

y ¨ = - a t sen ⁡ θ   + a n cos ⁡ θ   = - 4,16 sen ⁡ 30 ° + 51,4 cos ⁡ 30 °

Ou seja:

x ¨ = - 29,3   m / s 2

y ¨ = 42,4   m / s 2

Resolvido!

Resposta

As componentes das acelerações são x ¨ = - 29,3   m / s 2 e y ¨ = 42,4   m / s 2 .

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