Enunciado

Quando a água da maré A diminui, a comporta automaticamente se abre para drenar o pântano B . Para a condição de maré alta mostrada, determine as reações horizontais desenvolvidas na dobradiça C e no bloco de detenção D . O comprimento da comporta é de 6 m e sua altura é de 4 m. ρ w = 1,0   M g / m 3 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

O objetivo desta questão é descobrirmos as forças que atuam tanto em C quanto em D (ambas horizontais).

Para isso, nós temos que analisar a comporta na vertical. Portanto, as forças hidrostáticas possuem apenas uma componente horizontal, aplicadas em algum ponto da barra (que iremos descobrir).

O primeiro passo para resolvermos esta questão é determinar as forças resultantes devido à pressão hidrostática. Só depois vamos ter informações para calcular as forças em C e em D .

Então, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar determinando a força resultante e aonde ela atua pelo lado A . Esta força será exatamente:

F x = h á g u a ⋅ w 1 , A + w 2 , A 2

Sendo w 1 , A e w 2 , A a intensidade da carga medida nos pontos superior e inferior do nível da água (pelo lado A ). Para obtermos os seus valores, basta multiplicar a espessura da comporta pela pressão em cada um dos pontos. Logo,

w 1 , A = 6 ⋅ p 1 = 2 ⋅ ρ g h 1 , A = 6 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0 = 0 w 2 , A = 6 ⋅ p 2 = 2 ⋅ ρ g h 2 , A = 6 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 3 = 1 76,58   k N / m

Então,

F x , A = 3 ⋅ 0 + 17 6 , 58 2 = 264,87   k N

Já o ponto de atuação desta força, medido a partir da superfície do líquido (com o ar), é:

y - A = ∫ A y p x , y d A ∫ A p x , y d A = ∫ A y p x , y d A F R

y - A = ∫ 0 3 ∫ - 3 3 y ⋅ ρ g y d x d y 264870 = 1000 ⋅ 9,81 ∫ 0 3 ∫ - 3 3 y 2 d x d y 264870

y - A = ∫ 0 3 ∫ - 3 3 y 2 d x d y 27 = ∫ 0 3 6 y 2 d y 27 = 2 y 3 0 3 27 = 2   m

Mas isto medido a partir da superfície viu! Se formos medir a partir do ponto C , ele será:

y A = y - A + 1 = 3   m

Passo 3

Agora temos que analisar a força para o lado B .

Para este caso, temos:

w 1 , B = 6 ⋅ p 1 = 2 ⋅ ρ g h 1 , B = 6 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0 = 0 w 2 , B = 6 ⋅ p 2 = 2 ⋅ ρ g h 2 , B = 6 ⋅ 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 2 = 1 17,72   k N / m

Então,

F x , B = 2 ⋅ 0 + 1 17,72 2 = 117,72   k N

Já o ponto de atuação desta força, medido a partir da superfície do líquido (com o ar), é:

y - B = ∫ A y p x , y d A ∫ A p x , y d A = ∫ A y p x , y d A F R

y - B = ∫ 0 2 ∫ - 3 3 y ⋅ ρ g y d x d y 117720 = 1000 ⋅ 9,81 ∫ 0 2 ∫ - 3 3 y 2 d x d y 117720

y - B = ∫ 0 2 ∫ - 3 3 y 2 d x d y 12 = ∫ 0 2 6 y 2 d y 12 = 2 y 3 0 2 12 = 1,33   m

Mas isto medido a partir da superfície viu! Se formos medir a partir do ponto C , ele será:

y B = y - B + 2 = 3 , 33   m

Passo 4

Agora vamos para a barra C D . Aqui é a boa e velha questão de equilíbrio estático.

Temos uma barra em equilíbrio com cinco forças, as hidrostáticas F x , A e F x , B , as forças no pino C , C x e C y , e as forças em D , D x .

Então, basta utilizarmos as equações de equilíbrio. Portanto,

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ∑ M R C = 0 ⟹ F x , A - F x , B - D x - C x = 0 C y = 0 F x , A ⋅ 3 - F x , B ⋅ 3,33 - D x ⋅ 4 = 0

264,87 - 117,72 - D x - C x = 0 C y = 0 264,87 ⋅ 3 - 117,72 ⋅ 3,33 - D x ⋅ 4 = 0

Resolvendo o sistema acima nós obtemos:

D x = 1 01,5   k N

C x = 45,6   k N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

D x = 101,5   k N

C x = 45,6   k N

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