Enunciado

Além da variação da pressão radial do Prob. 6/92, suponha que o coeficiente de atrito μ diminui linearmente com r de um valor μ0 no centro para μ0 / 2 em r = a. Derive uma expressão para o torque M necessário para girar o eixo sob uma carga axial L e compare com o resultado declarado para Prob. 6/92

Passo 1

Para cada ponto de área d A , raio r e angulaçäo θ , como mostrado na figura, é feita no disco pela superfície lixada uma força de atrito d F

Essa pequena força infinitesimal de atrito é igual à força nomal d P aplicada vezes o coeficiente de atrito μ Mas sabemos que a força normal é a pressão vezes a área:

d F = μ d P = μ p d A

A área infinitesimal pode ser considerada como um comprimento dR vezes uma largura dada por um pequeno arco 4 l = r d θ , entăo:

d A = r i s ⁡ d θ

Finalmente, devemos calcular o momento infinitesimal d M que cada força de atrito d F causa em tomo do centro:

d M = r d F = r ⋅ μ p d A = μ p r ⋅ r d r ⁡ d θ = μ p r 2 d r d θ

Devemos então para obter o momento total integrar essa expressão, com θ variando de 0 a 2 π er variando de 0 a a.

Passo 2

Entẫo temos que calcular a integral dupla:

M = ∫ 0 2 x   d θ ∫ 0 a   μ p r 2 d r

A parte da esquerda é calculada diretamente:

∫ 0 2 π   d θ = 2 π ⇒ M = 2 π μ ∫ 0 a   p r 2 d r

A expressăo de p em função de r é uma reta decrescente com p ( 0 ) = p 0 . Vamos calcular então a expressão de p .

p ( r ) = p 0 - k r p ( a ) - p 0 2 - p 0 - k a ⇒ p 0 2 - ρ 0 = - p 0 2 - - k a ⇒ k = p 0 2 a ⇒ p ( r ) = p 0 - p 0 2 a r

Então calculamos a integral:

M - 2 π μ ∫ 0 a   p r 2 d r - 2 π μ ∫ 0 n   p 0 - p 0 2 a r r 2 d r

- 2 π μ ∫ 0 a     ρ 0 r 2 - p 0 2 a r 3 d r - 2 π μ p 0 3 r 3 - p 0 8 a r 4 0 0 = 2 π μ p 0 a 3 3 - p 0 a 2 s = 2 π μ 8 p 0 a 3 24 - 3 p 0 a 3 24 = 5 π μ p 0 a 3 12

Passo 3

Temos o momento total, mas precisamos do valor de   $ 0 em funçăo da força L aplicada. A força total L será igual a

L = ∫   ρ d A

Já calculamos que d A = r d r d θ e que p - p 0 - p 2 2 r , entăo:

L = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 ∞   p 0 - p 0 2 a r r d r

Então calculamos a integral:

∫ 0 2 x     d θ ∫ 0 ∞     p 0 - p 0 2 a r r d r = 2 π ∫ 0 e     p 0 r - p 0 2 a r 3 r d r = 2 π p 0 2 r 2 - p 0 6 a , s 8 0 0 = 2 π p 0 a 2 2 - p 0 a 2 6 = 2 π 3 p 0 a 2 6 - p 0 a 2 6 ⇒ L = 2 π p 0 a 2 3

Então temos p 0 em funcäo de L :

p 0 = 3 L 2 π p 0 a 2

Substituindo então na fórmula de M :

M = 5 π / μ p 0 a 3 12 = 5 π / μ a 2 12 ⋅ 3 L 2 π p 0 a 2 = 5 μ L c 8

Resposta

M = 5 μ L a 8

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