Enunciado

O anel de dimensão desprezível está submetido a uma força vertical de 1000   N . Determine o maior comprimento l da corda A C tal que a tração que atua em A C seja de 800   N . Além disso, qual é a força que atua na corda A B ? Dica: Use a condição de equilíbrio para determinar o ângulo θ para a fixação, depois determine l usando a trigonometria aplicada a ∆   A B C .

Passo 1

Fala, gente!

Para encontrarmos o valor da força F A B e do comprimento l , o equilíbrio de forças deve ser analisado nas duas dimensões x e y , pelo fato de as forças estarem atuando nelas.

Vamos fazer o diagrama de corpo livre tendo o ponto A como origem para nos ajudar:

Aí a gente vai seguir o bizu do enunciado. Vamos primeiro achar θ e F A B , sabendo que F A C = 800   N . E depois achar l por trigonometria e pela geometria do problema.

Bora!

Passo 2

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0

Adotando como positivo os sentidos para a direita (eixo x ) e para cima (eixo y ):

∑ F x = 0

⇒ F A B cos ⁡ 40 ° - F A C cos ⁡ θ = 0 → F A B cos ⁡ 40 ° = F A C cos ⁡ θ

Tal que isolando F A B :

F A B = F A C cos ⁡ θ cos ⁡ 40 °   ( 1 )

Da mesma forma, para o eixo y :

∑ F y = 0

⇒ F A B   s e n 40 ° + F A C s e n θ - 1000 = 0   ( 2 )

Passo 3

Agora, com as duas equações encontradas conseguimos montar um sistema de equações dado por:

F A B = F A C cos ⁡ θ cos ⁡ 40 °   F A B   s e n 40 ° + F A C s e n θ - 1000 = 0

Vamos substituir F A B na segunda equação para obtermos:

F A C cos ⁡ θ cos ⁡ 40 °   s e n 40 ° + F A C s e n θ - 1000 = 0

F A C cos ⁡ θ s e n 40 ° cos ⁡ 40 ° + F A C s e n θ - 1000 = 0

E chegarmos em:

t g 40 ° F A C cos ⁡ θ + F A C s e n θ = 1000

Substituindo o valor dado da tração na corda A C :

t g 40 ° 800 cos ⁡ θ + 800 s e n θ = 1000

Aí a gente chega nessa equação

671 , 28 cos ⁡ θ + 800   s e n   θ = 1000

Essa equação a gente precisa de métodos numéricos para resolver, como não é o escopo da matéria, a gente vai jogar essa equação numa calculadora de equações (tem algumas online até), para achar o resultado, tá? Fica:

θ ≈ 33,25 °

Voltando para a primeira equação do nosso sisteminha

F A B = 800 cos ⁡ 33,25 ° cos ⁡ 40 ° = 873,4   N

Passo 4

Por fim, com o valor do ângulo, é possível utilizar a Lei dos Senos no triângulo ABC:

l s e n 40 ° = 0,6 s e n θ = 0,6 s e n 33,25 °

∴ l ≅ 0,7   m

Resposta

l ≅ 0,7   m

F A B = 873,4   N

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