Enunciado

O anel semicircular uniforme de massa m = 2,5   k g e raio médio r = 200   m m está montado sobre raios de massa desprezível e gira em torno de um eixo horizontal através de O . Se o anel é liberado a partir do repouso na posição θ = 30 ° , determine a força R suportada pelo mancal imediatamente após a liberação.

Passo 1

O primeiro passo é encontrar a aceleração angular do anel nessa posição. O único momento agindo sobre ele é o da força peso, que age no centro de massa, a uma distância r - do ponto O :

∑ M O = I O α

m g r - cos ⁡ θ = I O α

E podemos consultar uma tabela para encontrar tanto a posição r - quanto o momento de inércia I O :

r - = 2 r π

I O = m r 2

Então:

m g 2 r π cos ⁡ θ = m r 2 α

α = 2 g π r cos ⁡ θ

α = 2 9,81 ( π ) ( 0,200 ) cos ⁡ 30 ° = 27,0   r a d / s 2

Passo 2

E agora vamos analisar as duas componentes (normal e tangencial), para encontrar as forças R t e R n .

Primeiro aplicamos a segunda lei de Newton na direção tangencial, as únicas forças que agem nessa direção são a componente tangencial do peso e a força R t no mancal:

∑ F t = m a t = m r - α

m g cos ⁡ θ - R t = m r - α

R t = m g cos ⁡ θ - r - α

Agora vamos substituir com os valores que já temos:

R t = 2,5 9,81 cos ⁡ 30 ° - 2 0,200 π 27,0

R t = 12,6   N

E podemos fazer praticamente a mesma coisa na direção normal, mas dessa vez a resultante deve se anular:

∑ F n = 0

Dessa vez ficamos com a outra componente da força peso e a força R n na direção centrípeta:

R n - m g sen ⁡ θ = 0

R n = m g sen ⁡ θ

R n = 2,5 9,81 sen ⁡ 30 ° = 12,26   N

Passo 3

E agora já podemos calcular o módulo total da força R :

R = R n 2 + R t 2

R = 12,26 2 + 12,6 2

R = 17,6   N

Resposta

A força suportada pelo mancal é R = 17,6   N .

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