Enunciado

Uma antena é ancorada por três cabos como mostrado na figura. Sabendo que a tensão no cabo A D é 12 0 0   N , substitua a força exercida pelo cabo A D por um sistema força-binário equivalente, com centro em O na base da antena.

Passo 1

Como já é conhecido, uma força equivalente pode ser determinada a partir de uma força e de um binário. Por conta disso é possível que o caminho inverso seja feito, ou seja, um sistema força-binário pode ser gerado a partir de uma única força dada.

Dessa forma, se pretende determinar uma força e um momento gerado por um binário que ajam sobre o mesmo ponto.

Passo 2

Assim, escolhe-se uma força F tendo a mesma intensidade e mesmo sentido da força dada no problema, mas com atuação sobre um ponto diferente. No caso, o momento M desejado terá atuação sobre o mesmo ponto, este que foi dado no enunciado como sendo o ponto O .

Passo 3

Logo, a força em O terá um módulo de 1 2 0 0   N . No entanto, interessa ter mais informações como a intensidade em cada eixo coordenado, ou seja, saber o valor de F na forma vetorial.

Para fazer isso, deve-se converter a forma escalar para a forma vetorial da força que seria feito através da fórmula:

F → O = F A D r ^ D / A

Onde, r ^ D / A é o vetor direção unitário de A até D e pode ser reescrito como:

r ^ D / A = r → D / A | r D / A |

Portanto, a força vetorial se dará por:

F → O = 1 2 0 0 N - 19,2 i - 38,4 j - 38,4 k   m - 19,2 2 + - 38,4 2 + - 38,4 2   m

F → O = 12 0 0 - 19,2 i - 38,4 j - 38,4 k 57,6

F → O = - 400 i - 8 00 j - 800 k   N

Passo 4

Tendo a força em O definida, é possível saber o momento que ela causa sobre o ponto O . Sabendo que o momento é definido por:

M = r × F

Para este caso teremos:

M O = r A / O × F → O

Sendo que r A / O é o braço de alavanca pela qual a força F → O gera momento. Logo, tem-se:

M O = 38,4 j × - 400 i - 800 j - 800 k

M O = - 30720 i + 15360 k   N ∙ m

Resposta

F → O = - 400 i - 800 j - 800 k   N

M O = - 30720 i + 15360 k   N ∙ m

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