Enunciado

57. A placa triangular A B C é sustentada por juntas rotuladas em B e D e mantida na posição mostrada pelos cabos A E e C F . Se a força exercida pelo cabo C F em C é 33   N , determine o momento dessa força em relação a linha que une os pontos D e B .

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, vamos definir a expressão de momento em relação a A D como sendo:

∑ M → D B = λ D B ⋅ ( r → C / D × T → C F ) = M D B

A primeira coisa é definir cada termo no seu quadrado. Olha só!!! Esse λ D B é definido a partir da seguinte relação:

λ D B = D B → D B

Em seguida, vamos determinar a distância D B → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Para fazer isso, basta observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto D está nas coordenadas ( 0 ; 0,70 ; 0 ) em metros e o ponto   B , encontra-se nas coordenadas ( 1,20 ; 0,35 ; 0 ) . Com isso, para achar A B → basta fazer a diferença entre as coordenadas de B e as coordenadas de A :

  D B → = 1,2 - 0 i ^ + 0,35 - 0,70 j ^ + ( 0 - 0 ) k ^

D B → = 1,2 i ^ - 0,35 j ^ + 0 k ^   m

E o valor de D B é dado por:

D B = ( 1,2 ) 2 + ( - 0,35 ) 2 + ( 0 ) 2

D B = 1,25

Logo, já podemos obter λ D B :

λ D B = 1,2 i ^ - 0,35 j ^ + 0 k ^ 1,25

λ D B = 0,96 i ^ - 0,28 j ^

Depois continuemos à caça. O próximo passo é achar o vetor posição r → C / D , que é dado pelo vetor D C → :

r → C / D = D C → = 0,2 j ^ - 0,4 k ^   m

Passo 2

Achada o nosso vetor r → C / D e o valor de λ D B , falta apenas a força. Por isso vamos olhar a figura novamente; afinal vamos ter que tratar de decompor a força de tensão presente no cabo C F :

Para fazer isso, determinemos a distância C F → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Vemos que o ponto C está nas coordenadas ( 0 ; 0,9 ; - 0,4 ) em metros e o ponto   F , encontra-se nas coordenadas ( 0,6 ; 0 ; - 0,6 ) . Com isso, para achar C F → , basta fazer a diferença entre as coordenadas de F e as coordenadas de   C :

C F → = 0,6 - 0 i ^ + 0 - 0,9 j ^ + ( - 0,6 + 0,4 ) k ^

C F → = 0,6 i ^ - 0,9 j ^ - 0,2 k ^   m

E precisamos também do valor de C F , em módulo, né?

C F = ( 0,6 ) 2 + ( - 0,9 ) 2 + ( - 0,2 ) 2     m

C F = 1,1   m

Desse jeito, a nossa tração T → C F vai ser dada por:

T → C F = T C F ⋅ C F → C F

T → C F = 33 ⋅ 0,6 i ^ - 0,9 j ^ - 0,2 k ^ 1,1   N

T → C F = 18   N i ^ - 27   N j ^ - ( 6   N ) k ^

Passo 3

Por fim, apliquemos a definição de momento:

∑ M → D B = λ D B ⋅ ( r → C / D × T → C F ) = M D B

Onde temos que:

r → C / D = D C → = 0,2 j ^ - 0,4 k ^   m

T → C F = 18   N i ^ - 27   N j ^ - ( 6   N ) k ^

λ D B = 0,96 i ^ - 0,28 j ^

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M D B = λ D B ⋅ ( r → C / D × T → C F )

M DB = det ⁡ λ D B , x λ D B , y λ D B , z x C y C z C T x T y T z

M DB = det ⁡ 0,96 - 0,28 0 0 0,2 - 0,4 18 - 27 - 6

M DB = ⁡ 0,96 - 0,28 0 0 0,2 - 0,4 18 - 27 - 6       0,96 - 0,28 0 0,2 18 - 27      

M D B = ( - 1,152 + 2,016 - 10,368 )   N ⋅ m

M D B = - 9,504   N ⋅ m

Esse é o nosso momento M D B resultante!!

Resposta

M D B = - 9,504   N ⋅ m

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