Enunciado

O apoio é composto por um poste sólido de latão vermelho C83400 embutido em um tubo de aço inoxidável 304. Antes da aplicação da carga, a folga entre essas duas partes é 1   m m . Dadas as dimensões mostradas na figura, determine a maior carga axial que pode ser aplicada à tampa rígida A sem provocar o escoamento de qualquer um dos materiais.

Passo 1

Falaa!

Antes de começar, as propriedade desses materiais que ele deu são tabeladas, tá? Então a tensão de escoamento e o módulo de elasticidade que usarmos aqui vêm de tabelinhas de propriedades desses materiais.

Agora sim, vamos entender a situação do nosso problema. Temos um tubo de aço, e dentro dele um poste de latão. Eles dois juntos precisam suportar a força P na tampa rígida. Queremos o maior valor de P que não cause escoamento em ninguém.

Mas atenção: isso só acontece se o latão conseguir sofrer uma compressão que cause uma contração de δ = 1   m m sem escoar. Só depois disso, que temos os dois materiais resistindo a P , pois aí que o aço começa a encostar na tampa também.

Então, antes de continuar o rolê, precisamos ver se o latão não escoa por causa de P até que a tampa encoste no aço, ou seja, até a gente atingir:

δ l a t = 1   m m

Então vamos achar o valor de δ l a t quando o latão está na tensão de escoamento, e ver se o resultado é menor ou maior que δ l a t = 1   m m . Temos que aplicar a fórmula de δ :

δ = N L E A

Temos que

L = 0,251   m

E = 101 × 10 9   P a

A = π 0,03 2   m 2

Podemos achar N em função de σ e l a t = 77   10 6   M P a pela fórmula da tensão média:

σ e l a t = N A → N = σ e l a t A

Voltando para a deformação:

δ = σ e l a t A L E A = σ e l a t L E = 77 10 6 0,251 101 × 10 9 = 1,9   m m

Então, beleza, o alongamento que ele tem no escoamento é de 1,9   m m , que é menor que 1   m m . Então o latão consegue passar do alongamento de δ = 1   m m sem escoar. Vamos seguir.

Passo 2

Então nosso DCL de quando os dois materiais estão encostando na tampa fica:

Onde F a ç o é a reação gerada pelo tubo de aço e F l a t a reação do poste de latão.

A gente quer descobrir o maior valor de P para que nenhum desses materais sofram escoamento.

Então o que a gente precisa fazer é achar as reações em cada um desses elementos e a partir disso achar uma expressão para a tensão normal neles em função de P . E aí depois é comparar esses valores com a tensão de escoamento para cada material para achar P . Bora!

Passo 3

Precisamos achar esses valores de F em função de P . Com isso, podemos utilizar a fórmula do equilíbrio no eixo y :

↑ ∑ F y = 0 F l a t + F a ç o - P = 0

Repara que temos duas icógnitas, mas só uma equação. A gente precisa de mais uma, certo?

Passo 4

Vamos tentar achar essa equação que falta da compatibilidade de deslocamentos. Inicialmente nossa barra está encostada só no latão e distante de 1 mm da parte de aço.

Já que A é rígida (não se encurva), no momento onde temos um carregamento P máximo, podemos supor que A estará encostada nos dois materiais, e causando compressão nos dois.

Nesse momento, a carga age sobre essa “tampa” do poste. Essa tampa não se deforma né? Porque ela é rígida. Então, se não há deformação, ela permance reta sempre. Logo, a altura que ela desce no meio, ela desce igualmente nas extremidades. Temos algo assim:

Dessa figura, tiramos que o encurtamento do aço δ a ç o é igual ao encurtamento do latão δ l a t menos 1   m m . Isso porque antes de começarem a se defomarem juntos, o latão já havia se encurtado de δ = 1   m m , lembra? Nossa equação fica:

δ l a t - 1   m m = δ a ç o

δ l a t = δ a ç o + 1 m m

Agora, temos que aplicar a fórmula de δ   para cada um:

δ = N L E A

δ l a t = δ a ç o + 1 F a ç o ( 0,25 ) π ( 0,05 2 - 0,04 2 ) ( 193 × 10 9 ) = F l a t ( 0,251 ) π 0,03 2 ( 101 × 10 9 ) + 0,001

Repare que 1 virou 0,001 porque passamos para metro!

F a ç o = 1,911 F l a t + 2,1828 × 10 6

Essa é nossa segunda equação.

Passo 5

Agora, achamos as F ' s em função de P pelo sisteminha de suas equações:

F l a t + F a ç o = P → F l a t = P - F a ç o

F a ç o = 1,911 F l a t + 2,1828 × 10 6

Resolvendo ele, achamos:

F a ç o = - 2.37637 10 6 + 2.08869 P

F l a t = 2.37637 10 6 - 1.08869 P

Passo 6

E agora, achamos a tensão para cada material e comparamos com a tensão admissível. O menor P é o que a gente escolhe.

σ a d m = F A

Os valores de tensão admissível são tabelados.

σ a ç o = 207   M P a

σ l a t = 70   M P a

Para o aço:

207   10 6 = - 2.37637 10 6 + 2.08869 P π 0,05 2 - 0.04 2

P = 1418   k N

Para o latão:

77   10 6 = 2.37637 10 6 - 1.08869 P π 0,03 2

P = 1982   k N

Obs: Essa questão está bem diferente do gabarito. Pode ser algum erro de tradução que deixou os dados errados. Mas se cair uma parecida na sua prova, segue esse passo a passo, que dá bom! 😉

Resposta

P = 1418   k N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável 304 conectados aos elementos rígidos A B e D C . Determine o ângulo de inclinação de cada elemento após a aplicação da carga de 2,5k N . A pos
A barra tem área de seção transversal de 1.800m m 2 e E =250G P a . Determine o deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento distribuído
A haste de aço A - 36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste for 60m m 2 , determine o deslocamento de B e A . Despreze o tamanho dos acoplamentos em B ,CeD .
O eixo A C de aço A - 36 com 15m m de diâmetro é sustentado por um colar rígido fixado ao eixo B . Se for submetido a uma carga axial de 80k N em sua extremidade, determine a distribuição de pressão u
O conjunto é composto por uma haste C B de aço A - 36 e uma haste B A de alumínio 6061 - T 6 , cada uma com diâmetro de 25m m . Determine as cargas aplicadas P 1eP 2 se A se deslocar2m m para a direit