Enunciado

Após completar sua missão de exploração na Lua, os dois astronautas da tripulação de um módulo de excursão lunar Apollo iriam preparar o retorno ao módulo de comando que orbitava na Lua a uma altitude de 140   k m . Eles acionariam o motor do módulo lunar, levariam-no ao longo de uma trajetória curva até o ponto A , a 8   k m acima da superfície da Lua, e desligariam o motor. Sabendo que o módulo lunar movia-se naquele instante em uma direção paralela à superfície da Lua e que, então, seguiria livre ao longo de uma trajetória elíptica para reencontrar o módulo de comando em B , determine (a) a velocidade do módulo lunar após o desligamento do motor, (b) a velocidade relativa com a qual o módulo de comando se aproximaria do módulo lunar em B . (O raio da Lua é de 1.740   k m e sua massa é 0,0123 vezes a massa da Terra.)

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? Vamos à resolução do problema!!

Observe que, o módulo de comando está no ponto B. O enunciado e a figura nos fornecem como dados:

A l t i t u d e B = 140   k m = 140 × 10 3   m

A l t i t u d e A = 8   k m = 8 × 10 3   m

R L = 1740   k m = 1740 × 10 3   m

M L = 0,0123 M T

Nosso dever é determinar a velocidade do módulo lunar após o desligamento do motor v A , e a velocidade relativa com a qual o módulo de comando se aproximaria do módulo lunar em B , v r e l . Como temos as altitudes dos pontos A e B e o raio da lua, vamos incialmente calcular r A e r B .

r A = A l t i t u d e A + R L

r A = 8 × 10 3 + 1740 × 10 3 = 1748 × 10 3   m

r B = A l t i t u d e B + R L

r B = 140 × 10 3 + 1740 × 10 3 = 1880 × 10 3   m

Aplicando o princípio da conservação do momento angular:

r A m v A = r B m v B

v B = 1748 × 10 3   1880 × 10 3 v A

v B = 0,9298 v A

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A 2

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M L m r A

O produto G M L , pode ser expresso conforme a Eq. 12,29:

G M L = g R 2

Sabemos que,

G M L = 0,0123 G M T = 0,0123 g R T 2

E sendo

g = 9,8 1   m / s 2

R T = 6370 × 10 3   m

Substituímos os valores na equação para obtermos G M L :

G M L = 0,0123 g R T 2

G M L = 0,0123 ⋅ 9,81 6370 × 10 3 2

G M L = 4,896 × 10 12   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - ( 4,896 × 10 12 ) m r A

V A = - ( 4,896 × 10 12 ) m 1748 × 10 3

V A = - ( 2,8 01 × 10 6 ) m

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

Aplicamos a Eq. 13.17 para obter a energia potencial:

V B = - G M L m r B = - ( 4,896 × 10 12 ) m 1880 × 10 3

V B = - 126,98 × 10 15 m 100 × 10 6 = - 2,604 × 10 6 m

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

1 2 m v A 2 - ( 2,8 01 × 10 6 ) m = 1 2 m v B 2 - 2,604 × 10 6 m

v A 2 - v B 2 = 394 × 10 3

Sabemos que

v B = 0,9298 v A

Então,

v A 2 - 0,9298 v A 2 = 394 × 10 3

v A 2 - 0,8645 v A 2 = 394 × 10 3

v A 2 = 394 × 10 3 0,1 3 55

v A = 1705   m / s

Passo 4

Vamos agora encontrar a velocidade relativa v r e l com a qual o módulo de comando se aproximaria do módulo lunar em B .

Temos que,

v B = 0,9298 v A

Substituindo o valor encontrado para v A :

v B = 0,9298 ⋅ 1705 = 1585   m / s

O módulo de comando está em órbita circular. O valor da velocidade inicial correspondente a uma órbita circular é encontrado através da Eq. 12.44:

v c i r c = G M L r B

v c i r c = 4,896 × 10 12 1 880 × 10 3

v c i r c = 16 13 , 8   m / s

Calculando a velocidade relativa v r e l , temos:

v r e l = v c i r c - v B

v r e l = 1613 , 8 - 1585 = 2 8 , 8   m / s

Resposta

a )   v A = 1705   m / s

b )   v r e l = 28,8   m / s

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