Enunciado

A melhor maneira de transferir um veículo espacial de uma órbita circular mais interna para uma outra órbita coplanar mais externa é acionando seus motores quando ele passar por A , a fim de aumentar sua velocidade e pô-lo em uma órbita elíptica de transferência. Um outro aumento de velocidade quando ele passar por B irá colocá-lo na órbita circular desejada. Para um veículo em uma órbita circular em torno da Terra a uma altitude h 1 = 320   k m que deve ser transferido para uma órbita circular a uma altitude h 2 =   800   k m , determine (a) o aumento de velocidade requerido em A e B , (b) a energia total por unidade de massa necessária para executar a transferência.

Passo 1

Oi, galerinha! Beleza? Vamos à resolução do problema!!

O enunciado e a figura nos fornecem como dados:

h 1 = 320   k m = 320 × 10 3   m

h 2 =   800   k m = 800 × 10 3   m

R = 6370   k m = 6370 × 10 3   m

Nosso dever é determinar o aumento de velocidade requerido em A e B e a energia total por unidade de massa necessária para executar a transferência do veículo de uma órbita circular mais interna para uma outra órbita coplanar mais externa. Como temos as altitudes dos pontos A e B e o raio da Terra, vamos incialmente calcular r A e r B .

r A = h 1 + R

r A = 320 × 10 3 + 6370 × 10 3 = 6690 × 10 3   m

r B = h 2 + R

r B = 800 × 10 3 + 6 3 70 × 10 3 = 7170 × 10 3   m

Aplicando o princípio da conservação do momento angular:

r A m v A = r B m v B

v A = 7170 × 10 3   6690 × 10 3 v B

v A = 1,07 17 v B

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A 2

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M m r A

No caso de um corpo de massa m sujeito à atração gravitacional da Terra, o produto G M , pode ser expresso de acordo a Eq. (12.29),

G M T = g R 2

Sabemos que,

g = 9,8 1   m / s 2

e

R = 6370 × 10 3   m

Então, substituindo na Eq. (12.29), temos,

G M T = 9,8 1 637 0 × 10 3 2

G M T = 398 , 06 × 10 12   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - m 398 , 06 × 10 12 6690 × 10 3

V A = - 5 9 , 5 × 10 6 m

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

Aplicamos a Eq. 13.17 para obter a energia potencial:

V B = - G M m r B = - m 398 , 060 × 10 12 7170 × 10 3

V B = - 5 5 , 5 × 10 6 m

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

1 2 m v A 2 - 59 , 5 × 10 6 m = 1 2 m v B 2 - 55,5 × 10 6 m

v A 2 - v B 2 = 8 × 10 6

Sabemos que

v A = 1,07 17 v B

Então,

1,07 17 v B 2 - v B 2 = 8 × 10 6

1 , 1485 v B 2 - v B 2 = 8 × 10 6

v B 2 = 8 × 10 6 0 , 14 85

v B = 7 339,7   m / s

v A = 1,07 17 ⋅ 73 39,7 = 7865,95   m / s

Passo 4

O valor da velocidade inicial correspondente a uma órbita circular é encontrado através da Eq. 12.44:

v c i r c = G M r

Ponto A:

v A c i r c = G M r A

v A c i r c = 398 , 06 × 10 12 6690 × 10 3

v A c i r c = 7713 , 7   m / s

Ponto A:

v B c i r c = G M r B

v B c i r c = 398 , 06 × 10 12 7170 × 10 3

v B c i r c = 7 45 1   m / s

Passo 5

Vamos então encontrar:

Aumento de velocidade requerida em A , Δ v A :

Δ v A = v A - v A c i r c

Δ v A = 7865,95 - 7713,7 = 152 , 25   m / s

Aumento de velocidade requerida em B , Δ v B :

Δ v B = v B c i r c - v B

Δ v B = 7451 - 7339,7 = 1 11,3   m / s

Passo 6

E, por fim, a energia total por unidade de massa.

E m = 1 2 [ v A 2 - v A c i r c 2 + v B c i r c 2 - v B 2 ]

E m = 7865,95 2 - 7713,7 2 + 7451 2 - 7339,7 2 2 = 2 , 1 × 10 6   J / k g

Resposta

a )   Δ v A = 152,25   m / s

Δ v B = 111,3   m / s

b )   E M = 2,1 × 10 6   J / k g

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