Enunciado

A árvore jovem, originalmente dobrada, foi trazida para a posição vertical ajustando as três tensões do arame para A B = 0 , A C = 10   l b e A D = 15   l b . Determine as reações de força e momento no ponto base do tronco O . Negligencie o peso da árvore.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as reações de força e momento no ponto O , que atua como um engaste, em relação aos eixos x , y e z . Vamos começar então fazendo o diagrama de corpo livre para o nosso sistema.

Estranho né? Mas calma que é só a primeira impressão, ao longo dos cálculos você vai ver que fica bem simples! Conforme foi dito no enunciado, as tensões nos cabos são:

T B = 0

T C = 10   l b

T D = 15   l b

Observe que, como T B = 0 , nós não representamos o cabo A B no diagrama de corpo livre, pois ela é irrelevante para nossos cálculos. Dito isso, o primeiro passo aqui é encontrar algumas medidas que nós definimos no D.C.L.

tan ⁡ α = 5 5

α = tan - 1 ⁡ 5 5

α = 45 °

b = 5 2 + 3 2

b = 5,83   f t

tan ⁡ β = 3 5

β = tan - 1 ⁡ 3 5

β = 30,96 °

E, finalmente:

tan γ ⁡ = b 5

β = tan - 1 ⁡ b 5

β = 49,38 °

Passo 2

Este é um problema que pode ser facilmente resolvido pelas três equações de equilíbrio de momento (em torno dos eixos x , y e z ) e pelas três equações de equilíbrio de forças, também nas direções dos eixos x , y e z .

Por convenção, vamos adotar que as forças são positivas quando apontam para os sentidos positivo dos eixos e, no caso dos momentos, quando o seu dedão pela regra da mão direita apontar nas direções positivas dos eixos. Então bora começar a trabalhar!

Começando pelas equações de equilíbrio de forças nas direções x , y e z .

∑ F x = 0

O x + T C s e n γ s e n β - T D s e n γ s e n β = 0

O x = 15 s e n 49,38 ° s e n 30,96 ° - 10 s e n 49,38 ° s e n 30,96 °

O x = 1,96   l b

∑ F y = 0

- O y + T C s e n γ c o s β + T D s e n γ c o s β = 0

O y = 15 s e n 49,38 ° c o s 30,96 ° + 10 s e n 49,38 ° c o s 30,96 °

O y = - 1 6,27   l b

∑ F z = 0

O z - T C c o s γ - T D c o s γ = 0

O z = 15 c o s 49,38 ° + 10 c o s 49,38 °

O z = 16,27   l b

Passo 3

Show de bola! Feito isso já temos todas as reações de força do engaste, para descobrir os momentos, vamos usar as equações de equilíbrio de momentos em torno dos eixos x , y e z .

∑ M x = 0

- M x + 5 * T C s e n γ c o s β + 5 * T D s e n γ c o s β = 0

M x = 5 * 10 s e n 49,38 ° c o s 30,96 ° + 5 * 15 s e n 49,38 ° c o s 30,96 °

M x = 81,36   l b ∙ f t

∑ M y = 0

- M y + 5 * T C s e n γ s e n β - 5 * T D s e n γ s e n β = 0

M y = - 5 * 10 s e n 49,38 ° s e n 30,96 ° + 5 * 15 s e n 49,38 ° s e n 30,96 °

M y = 9,7 6   l b ∙ f t

∑ M z = 0

M z = 0

Viu como foi de boa?

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Resposta

O x = 1,96   l b

O y = - 16,27   l b

O z = 16,27   l b

M x = 81,36   l b ∙ f t

M y = 9,76   l b ∙ f t

M z = 0

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