Enunciado

Assumindo que a reação do solo sobre a viga, de baixo para cima, se distribui uniformemente, desenhar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga com carregamento mostrado e determinar o máximo valor absoluto: (a) da força cortante; (b) do momento fletor.

Passo 1

Fala aí, galera! Vamos resolver esse problema de força cortante e momento fletor. Para isso a gente vai seguir uma receitinha de bolo, que consiste em:

  1. Calcular as reações na barra.
  2. Realizar seções em lugares específicos da barra a fim de saber a força cortante V e o momento fletor M .
  3. Juntar todas essas seções num gráfico.

Então partiu!?

Passo 2

Aqui temos um caso em que a barra está apoiada no solo e o problema nos diz que a força resultante será igualmente distribuída pela barra, ou seja, vamos ter algo assim:

Observe que colocamos uma força F distribuída como a reação do solo. Para calcular essa força a gente vai fazer o somatório das forças em y igual a zero:

∑ F y = 0

Como a barra está dividida em 4 partes iguais de 0,9 metros vamos ter que cada força distribuída de 30 k N / m vai valer:

30 ⋅ 0,9 = 27   k N

Colocando na nossa equação:

- 27 - 100 - 27 + F = 0

Logo a força de reação do solo vale:

F = 100 + 27 + 27 = 154   k N

Mas essa é uma força distribuída então a gente precisa distribui-la por toda a extensão da barra, que é de 3,6   m assim:

F = 154 3,6 = 42,78   k N / m

Show de bola calculamos a reação na barra!

Passo 3

Agora vamos realizar as seções e, como dito anteriormente, essas seções ocorrem em lugares específicos, basicamente sempre que houver mudança no carregamento de carga.

Neste caso vamos fazer 4 seções: Entre AC, entre CD, entre DE e entre EB. Vamos olhar cada seção.

Seção AC:

Veja que apareceram os termos da força cortante V e do momento fletor M . Outra coisa importante é que essa seção pode ser feita em qualquer posição entre A e C, logo consideramos uma distância x , sendo x > 0 e x < 0,9   m .

Agora vamos aplicar as condições de equilíbrio:

∑ F y = 0

- 30 ⋅ x + 42,78 ⋅ x - V = 0

V = 12,78 x

Para o momento:

∑ M A = 0

Aqui a gente tem que lembrar que o momento de uma força distribuída é calculado da seguinte forma: Calcula-se a força concentrada equivalente e faz essa força aplicada ao centro geométrico da distribuição (neste caso na metade porque é uma distribuição constante, um retângulo).

F c o n c e n t r a d a ⋅ x 2 - F ' c o n c e n t r a d a ⋅ x 2 + V ⋅ x - M = 0

( 30 ⋅ x ) ⋅ x 2 - ( 42,78 ⋅ x ) ⋅ x 2 + ( 12,78 ⋅ x ) ⋅ x - M = 0

M = ( 30 ⋅ x ) ⋅ x 2 - ( 42,78 ⋅ x ) ⋅ x 2 + ( 12,78 ⋅ x ) ⋅ x

M = 15 x 2 - 21,39 x 2 + 12,78 x 2

M = 6,39 x 2

obs: Para conferir você sempro pode derivar M em relação à x , se der diferente de V é algo de errado não está certo. No nosso caso dá certinho então, provavelmente, acertamos =D

Passo 4

Seção CD:

Agora a gente avançou para a seção seguinte, perceba que sempre o tamanho da nossa seção vai ser x , mas aqui a carga distribuída de 30   k N / m só vai até 0,9 m , isso é importante!

Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0

- 30 ⋅ 0,9 + 42,78 ⋅ x - V = 0

V = - 30 ⋅ 0,9 + 42,78 ⋅ x

V = 42,78 x - 27

para o momento:

∑ M A = 0

F c o n c e n t r a d a ⋅ 0,9 2 - F ' c o n c e n t r a d a ⋅ x 2 + V ⋅ x - M = 0

( 30 ⋅ 0,9 ) ⋅ 0,9 2 - ( 42,78 ⋅ x ) ⋅ x 2 + ( 42,78 x - 27 ) ⋅ x - M = 0

M = ( 30 ⋅ 0,9 ) ⋅ 0,9 2 - ( 42,78 ⋅ x ) ⋅ x 2 + ( 42,78 x - 27 ) ⋅ x

M = 12,15 - 21,39 x ² + 42,78 x ² - 27 x

M = 21,39 x 2 - 27 x + 12,15

Novamente a derivada de M em função de x é igual a V .

Passo 5

Seção DE:

Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0

- 30 ⋅ 0,9 + 42,78 ⋅ x - 100 - V = 0

V = - 30 ⋅ 0,9 + 42,78 ⋅ x - 100

V = 42,78 x - 127

para o momento:

∑ M A = 0

F c o n c e n t r a d a ⋅ 0,9 2 - F ' c o n c e n t r a d a ⋅ x 2 + 100 ⋅ ( 1,8 ) + V ⋅ x - M = 0

( 30 ⋅ 0,9 ) ⋅ 0,9 2 - ( 42,78 ⋅ x ) ⋅ x 2 + 100 ⋅ ( 1,8 ) + ( 42,78 x - 127 ) ⋅ x - M = 0

M = 30 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 2 - 42,78 ⋅ x ⋅ x 2 + 42,78 x - 127 ⋅ x + 100 ⋅ ( 1,8 )

M = 12,15 - 21,39 x 2 + 42,78 x 2 - 127 x + 180

M = 21,39 x 2 - 1 27 x + 19 2,15

Novamente a derivada de M em função de x é igual a V .

Passo 6

Finalmente a seção EB:

Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0

- 30 ⋅ 0,9 + 42,78 ⋅ x - 100 - ( 30 ⋅ x - 2,7 ) - V = 0

V = - 30 ⋅ 0,9 + 42,78 ⋅ x - 100 - ( 30 ⋅ x - 2,7 )

V = 12,78 x - 46

para o momento:

∑ M A = 0

F c o n ⋅ 0,9 2 - F ' c o n ⋅ x 2 + 100 ⋅ 1,8 + F ' ' c o n ⋅ x - x - 2,7 2 + V ⋅ x - M = 0

F c o n ⋅ 0,9 2 - F ' c o n ⋅ x 2 + 100 ⋅ 1,8 + F ' ' c o n ⋅ x + 2,7 2 + V ⋅ x - M = 0

M = 30 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 2 - 42,78 ⋅ x ⋅ x 2 + F ' ' c o n ⋅ x + 2,7 2 + 1 2,78 x - 46 x + 100 ⋅ ( 1,8 )

M = 12,15 - 21,39 x 2 + F ' ' c o n ⋅ x + 2,7 2 + 12,78 x 2 - 46 x + 180

M = - 8,61 x 2 + F ' ' c o n ⋅ x + 2,7 2 - 46 x + 192,15

M = - 8,61 x 2 + 30 ⋅ x - 2,7 ⋅ x + 2,7 2 - 46 x + 192,15

M = - 8,61 x 2 + 30 2 ⋅ x - 2,7 ⋅ ( x + 2,7 ) - 46 x + 192,15

M = - 8,61 x 2 + 15 ⋅ x 2 - 2,7 2 - 46 x + 192,15

M = 6,39 x 2 - 46 x + 82,8

Novamente a derivada de M em função de x é igual a V .

Passo 7

Agora a gente pode fazer o gráfico Com todas as seções:

AC: 0 < x < 0,9

V = 12,78 x

M = 6,39 x 2

CD: 0 , 9 < x < 1,8

V = 42,78 x - 27

M = 21,39 x 2 - 27 x + 12,15

EE: 1,8 < x < 2,7

V = 42,78 x - 127

M = 21,39 x 2 - 127 x + 192,15

EB: 2,7 < x < 3,6

V = 12,78 x - 46

M = 6,39 x 2 - 46 x + 82,8

Vamos representar os diagramas com base em suas equações apresentando apenas os resultados nos pontos de transição, assim como os máximos e mínimos.

Logo a diagrama de força cortante ficará da seguinte forma:

E o do momento fletor:

Passo 8

Pelo diagrama é possível ver que a força cortante máxima ocorre na metade da barra e vale 50   k N .

Passo 9

Já o momento fletor máximo vale 32,8   k N . m e também ocorre na metade da barra.

Resposta

a) Pelo diagrama é possível ver que a força cortante máxima ocorre na metade da barra e vale 50   k N .

b) Já o momento fletor máximo vale 32,8   k N . m e também ocorre na metade da barra.

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