Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos C e D . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se). Vamos representar A x e A y as componentes das reações em A e B y a componente da reação em B.

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta A x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = A y - 15 - 45 - 45 + B y = 0

A y + B y = 105   k N

Agora vamos calcular o momento n ponto A:

∑ M A = 0

∑ M A = 15 × 0,2 + 45 × 0,5 + 45 × 0,9 - B y × 1,5 = 0

B y = 4 4   N

Logo substituindo na equação anterior:

A y = 105 - 4 4 = 61   N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 0

w 0 é nulo porque não há carregamentos distribuídos!!

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ 0   d x

V x = + C

Agora a gente tem que achar a constante C , que vai ser igual às forças pontuais aplicadas:

C = 61 - 15 × x - 0,2 0 - 4 5 × x - 0,5 0 - 45 × x - 0 , 9 0

V x = 61 - 15 × x - 0,2 0 - 45 × x - 0,5 0 - 45 × x - 0,9 0

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x d x

M x = ∫ 61 - 15 × x - 0,2 0 - 45 × x - 0,5 0 - 45 × x - 0,9 0 d x

M x = 61 x - 15 × x - 0,2 1 - 45 × x - 0,5 1 - 45 × x - 0,9 1 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro que não existe em nenhum ponto logo:

C = 0

M x = 61 x - 15 × x - 0,2 1 - 45 × x - 0,5 1 - 45 × x - 0,9 1

Passo 6

Quando a gente olha para a função do momento parece que o valor máximo se dá em algum ponto menor do que 0,2   m e t r o s porque do segundo termo em diante todos são negativos. Porém vamos esquecer isso por um segundo e perceber que os carregamentos todos aumentam (até o ponto E).

Sendo assim o máximo momento fletor é exatamente em E: x = 0,9 m :

M x = 61 x - 15 × x - 0,2 1 - 45 × x - 0,5 1 - 45 × x - 0,9 1

M m á x = 61 × 0,9 - 15 × 0,9 - 0,2 - 45 × ( 0,9 - 0,5 )

M m á x = 26,4   N ⋅ m

Resposta

a)

V x = 61 - 15 × x - 0,2 0 - 45 × x - 0,5 0 - 45 × x - 0,9 0

M x = 61 x - 15 × x - 0,2 1 - 45 × x - 0,5 1 - 45 × x - 0,9 1

b)

M m á x = 26,4   N ⋅ m

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