Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar a localização e a intensidade o máximo momento fletor na viga e a máxima tensão normal devido à flexão.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se). Vamos representar A x e A y as componentes das reações em A e B y a componente da reação em B.

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta A x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = A y - 100 - ( 50 × 4,0 ) + B y = 0

A y + B y = 300   k N

Agora vamos calcular o momento no ponto A:

∑ M A = 0

∑ M A = 100 × 0,8 + 50 × 4,0 × 4,0 2 - B y × 4,0 = 0

B y = 120   k N

Logo substituindo na equação anterior:

A y = 300 - 120 = 180   k N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 50

Perceba que o carregamento dessa viga é constante!

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x     d x

V x = - ∫ 50     d x

V x = - 50 x + C

Agora a gente tem que achar a constante C , que vai ser igual às forças pontuais aplicadas. No caso temos a reação em A e a força pontual em C

C = 180 - 100 × x - 0,8 0

V x = - 50 x + 180 - 100 × x - 0,8 0

Reorganizando:

V x = 180 - 50 x - 100 × x - 0,8 0

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x d x

M x = ∫ 180 - 50 x - 100 × x - 0,8 0   d x

M x = 180 x - 25 x 2 - 100 × x - 0,8 1 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro que não existe em nenhum ponto logo:

C = 0

M x = 180 x - 25 x 2 - 100 × x - 0,8 1

Resposta

a)

V x = + 180 - 50 x - 100 × x - 0,8 0

M x = 180 x - 25 x 2 - 100 × x - 0,8 1

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